IRÁNYÍTÓ VEKTOR: A VONAL EGYENLETE, MEGOLDOTT GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2026

A rendezővektor alatt azt értjük, amely meghatározza a vonal irányát, akár a síkban, akár az űrben. Ezért a vonallal párhuzamos vektort tekinthetjük irányító vektorának.

Ez az euklideszi geometria axiómájának köszönhető, amely szerint két pont egy vonalat határoz meg. Ezután a két pont által alkotott orientált szegmens meghatározza az említett vonal irányító vektorát is.

1. ábra. Egy vonal irányító vektorja. (Saját kidolgozás)

Adva az L vonalhoz tartozó P pontot és az adott vonal u irányvektorát, a vonal teljesen meg van határozva.

A vonal és az irányító vektor egyenlete

2. ábra: A vonal és az irányító vektor egyenlete. (Saját kidolgozás)

Adva a P koordináták P pontját (Xo, I) és egy vonal (L) u vektor irányítóját, a Q: (X, Y) koordináták minden Q pontjának meg kell győződnie arról, hogy a PQ vektor párhuzamos az u-val. Ez az utolsó feltétel garantált, ha a PQ arányos u:

PQ = t⋅ u

a fenti kifejezésben t egy valós számhoz tartozó paraméter.

Ha PQ és u derékszögű összetevői vannak írva, akkor a fenti egyenletet a következőképpen kell írni:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Ha a vektor-egyenlőség komponensei kiegyenlítve vannak, a következő egyenletpárt kapjuk:

X - Xo = ha YY - I = b⋅t

A vonal paraméteres egyenlete

Az (L) vonalhoz tartozó pont X és Y koordinátáit, amelyek áthaladnak egy koordináta ponton (Xo, Yo) és párhuzamosak az u = (a, b) irányítóvektorral, úgy határozzuk meg, hogy valós értékeket adunk a t változó paraméterhez:

{X = Xo + a⋅t; I = I + b⋅t}

1. példa

A vonal paraméteres egyenletének értelmezéséhez a vektort vesszük

u = (a, b) = (2, -1)

és a vonal ismert pontjaként a pont

P = (Xo, I) = (1,5).

A vonal paraméteres egyenlete:

{X = 1 + 2t; Y = 5-1t; -∞

Ennek az egyenletnek a bemutatására a 3. ábrát mutatjuk be, ahol a t paraméter megváltoztatja az értékét, és a koordináták (X, Y) Q pontja különbözõ pozíciókat vesz a vonalon.

3. ábra. PQ = t u. (Saját kidolgozás)

A vonal vektor formában

Adva a P pontot a vonalon és annak u vektort, a vonal egyenlete vektor formában írható:

OQ = OP + λ⋅ u

A fenti egyenletben Q bármely pont, de tartozik a vonalhoz, és λ egy valós szám.

A vonal vektor egyenlete tetszőleges számú dimenzióra alkalmazható, akár hipervonal is definiálható.

Az u = (a, b, c) irányító vektor és a P = pont (Xo, Yo, Zo) háromdimenziós esetben a vonalhoz tartozó Q = (X, Y, Z) általános pont koordinátái:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

2. példa

Fontolja meg ismét azt a vonalat, amelynek irányító vektorja van

u = (a, b) = (2, -1)

és a vonal ismert pontjaként a pont

P = (Xo, I) = (1,5).

Az említett vonal vektor egyenlete:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

A vonal és az irányító vektor folyamatos formája

A paraméteres formától kezdve, az λ paraméter törlésével és egyenlőségével:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Ez a vonal egyenletének szimmetrikus alakja. Vegye figyelembe, hogy a, b és c a vezérlő vektor összetevői.

3. példa

Tekintsük azt a vonalat, amelynek irányító vektorja van

u = (a, b) = (2, -1)

és a vonal ismert pontjaként a pont

P = (Xo, I) = (1,5). Keresse meg szimmetrikus alakját.

A vonal szimmetrikus vagy folyamatos formája:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

A vonal egyenletének általános alakja

A vonal általános formáját az XY síkban egyenletnek nevezzük, amelynek szerkezete a következő:

A⋅X + B⋅Y = C

A szimmetrikus forma kifejezése átírható, hogy általános formájú legyen:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

összehasonlítva a vonal általános alakjával:

A = b, B = -a és C = b⋅Xo - a⋅Yo

3. példa

Keresse meg annak a vonalnak az általános alakját, amelynek irányítóvektora u = (2, -1)

és amely áthalad a P = (1, 5) ponton.

Az általános forma megtalálásához az adott képleteket használhatjuk, azonban alternatív utat választunk.

Kezdjük azzal, hogy megkeressük az u irányító vektor kettős vektorát, amelyet úgy definiálunk, mint az u összetevőinek cseréjével és a másodperc szorzásával nyert vektor:

w = (-1, -2)

kettős vektor w megfelel egy 90 ° -kal jobbra forgása a rendező vektor v.

Skalárisan megszorozzuk w- t (X, Y) és (Xo, Yo) -val, és egyenlőnek állítjuk:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1,5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

végül megmaradva:

X + 2Y = 11

A vonal egyenletének standard formája

Az XY síkban a vonal standard formájaként ismert, amelynek szerkezete a következő:

Y = m⋅X + d

ahol m jelzi a lejtőt és d az Y tengelyhez tartozó metszéspontot.

Tekintettel az u = (a, b) irányvektorra, az m meredekség b / a.

Yd-t úgy kapjuk, hogy X és Y helyettesítjük az ismert Xo, I pontot:

I = (b / a) Xo + d.

Röviden: m = b / a és d = I - (b / a) Xo

Vegye figyelembe, hogy az m meredekség hányadosa a rendező vektor y komponense és annak x komponense között.

4. példa

Keresse meg annak a sornak a standard alakját, amelynek irányítóvektora u = (2, -1)

és amely áthalad a P = (1, 5) ponton.

m = -½ és d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Megoldott gyakorlatok

-1. Feladat

Keresse meg az (L) vonal rendezővektorát, amely a sík (Π) metszéspontja: X - Y + Z = 3 és a sík (Ω): 2X + Y = 1.

Írja be az (L) egyenlet folyamatos formáját.

Megoldás

A sík egyenletéből (Ω) Y távolság: Y = 1 -2X

Ezután a sík egyenletében helyettesítjük:

X - (1 - 2X) + Z = 3 - 3X + Z = 4 - Z = 4 - 3X

Ezután paraméterezzük X-et, kiválasztjuk az X = λ paraméterezést

Ez azt jelenti, hogy a sorban van egy vektor-egyenlet, amelyet a következő ad:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

amelyet át lehet írni úgy:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

amivel egyértelmű, hogy az u = (1, -2, -3) vektor az (L) egyenes rendezővektora.

A vonal folyamatos alakja (L):

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- 2. gyakorlat

Mivel a sík 5X + a Y + 4Z = 5

és a vonal, amelynek egyenlete X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Határozzuk meg az érték értékét úgy, hogy a sík és a vonal párhuzamosak legyenek.

2. megoldás

Az n = (5, a, 4) vektor a síkhoz képest normál vektor.

Az u = (1, 3, -2) vektor a vonal irányító vektore.

Ha a vonal párhuzamos a síkkal, akkor n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Irodalom

1. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineáris algebra. Pearson oktatás.
3. Leal, JM és Viloria, NG (2005). Sík analitikus geometria. Mérida - Venezuela: Szerkesztői Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektor. Helyreállítva: Books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson oktatás.
6. Prenowitz, W. 2012. A geometria alapvető fogalmai. Rowman és Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson oktatás.