PÁRHUZAMOS VEKTOROK: JELLEMZŐK, PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

Az egyidejű vektorok olyan vektorcsoportok, amelyek tengelyei egy ponton egybeesnek, és a belső és a külső szög mindegyik párja között képesek. Világos példát mutat az alábbi ábra, ahol A, B és C egyidejű vektorok.

D és E a többiivel ellentétben nem. Az AB, AC és CB párhuzamos vektorok között szögek vannak kialakítva. A vektorok közötti kapcsolati szögeknek nevezzük őket.

jellemzők

- Van egy közös pont, amely egybeesik eredetükkel: az egyidejű vektorok minden nagysága egy közös ponttól kezdve kezdődik a megfelelő végig.

-A származást tekintjük a vektor hatáspontjának: létre kell hozni egy olyan működési pontot, amelyet az egyes egyidejű vektorok közvetlenül érintnek.

-Its domén a síkban, és a tér R ² és R ³ rendre: egyidejű vektorok szabadon, hogy fedezze a teljes geometriai helyet.

-Ha különböző jelöléseket tesz lehetővé ugyanabban a vektorcsoportban. A tanulmányi ágak szerint a vektorokkal végzett műveletekben különböző jelölések vannak jelen.

A vektorok típusai

A vektorok ágának több felosztása van, néhányuk közül megnevezhetők: párhuzamos, merőleges, koplanáris, megfelelő, ellentétes és egységi. Az egyidejű vektorok itt vannak felsorolva, és a fentiekhez hasonlóan, sok alkalmazásuk van a különböző tudományokban.

Ezek nagyon gyakoriak a vektorok vizsgálatában, mivel hasznos általánosítást jelentenek a velük végzett műveletek során. A síkban és az űrben egyaránt egyidejű vektorokat használnak különféle elemek ábrázolására és egy adott rendszerre gyakorolt ​​hatásaik tanulmányozására.

Vektoros jelölés

A vektor elem ábrázolására többféle mód van. A legfontosabb és legismertebb a következők:

kartéziánus

Ugyanezen matematikai megközelítés által javasolt vektorokat hármasával jelöl, amelyek az egyes tengelyek nagyságának felelnek meg (x, y, z)

A: (1, 1, -1) A szóköz: (1, 1) sík

Poláris

Csak a síkban lévő vektorok megjelölésére szolgálnak, bár az integrált kalkulusban a mélységkomponenshez vannak hozzárendelve. Ez egy r lineáris nagyságú és egy angle poláris tengelyhez viszonyított szögből áll.

A: (3, 45 ⁰) A sík: (2, 45 ⁰, 3) Hely

analitikai

Meghatározják a vektor nagyságát a versore segítségével. A versorek (i + j + k) az X, Y és x tengelyekhez tartozó egységvektort ábrázolják

V: 3i + 2j - 3k

Gömbölyű

Hasonlóak a poláris jelöléshez, de egy második szög hozzáadásával, amely az xy sík fölé söpört, amelyet δ jelöl.

A: (4, 60 ^vagy, π / 4)

Párhuzamos vektorműveletek

Az egyidejű vektorokat főként a vektorok közötti műveletek meghatározására használják, mivel a vektorok elemeinek összehasonlítása könnyebb, ha azokat egyidejűleg mutatják be.

Összeg (A + B)

Az egyidejű vektorok összegének célja a kapott V _r vektor megtalálása. Ami a tanulmányi ág szerint egy végleges akciónak felel meg

Például: 3 {A, B, C} húrok vannak kötve egy dobozhoz, a húr minden végét egy alany tartja. A 3 alany mindegyikének a kötelet a másik 2-től eltérő irányba kell húznia.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + által + cy; az + bz + cz) = V _r

A doboz csak egy irányba tud mozogni, ezért V _r jelzi a doboz mozgásának irányát és irányát.

Különbség (A - B)

Számos kritérium létezik a vektorok közötti különbség szempontjából, sok szerző úgy dönt, hogy kizárja azt, és kijelenti, hogy csak a vektorok közötti összeget írják elő, ahol a különbség az ellenkező vektor összegére vonatkozik. Az igazság az, hogy a vektorok algebrai módon kivonhatók.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; he-by; az-bz) =

Skaláris termék (A. B)

Ponttermékként is ismert, olyan skaláris értéket generál, amelyet különféle nagyságrenddel lehet összekapcsolni, a tanulmánytól függően.

Geometria szempontjából jelölje meg a párhuzamos diagramnak a párhuzamos vektorok által alkotott területét a párhuzamos módszer segítségével. A mechanikai fizika számára meghatározza az F erő által végzett munkát, amikor egy test Δr távolságot mozgat .

ѡ = F. Δr

Amint a neve jelzi, skaláris értéket generál, és a következőképpen határozza meg:

Legyenek A és B vektorok

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analitikus forma:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Ahol θ a két vektor közötti belső szög

-Algebrai forma:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Keresztirányú termék (A x B)

A két vektor közötti vektortermék vagy ponttermék meghatároz egy harmadik C vektort, amelynek minõsége merõleges B-re és C-re. A fizikában a τ nyomatékvektor a forgási dinamika alapeleme.

-Analitikus forma:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebrai forma:

(A x B) = = (ax. By-ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By-ay. Bx) k

- Relációs mozgás: r _{A / B}

A relativitás alapja a relatív mozgás, és az egyidejű vektorok a relatív mozgás alapja. A relatív pozíciókat, sebességeket és gyorsulásokat az alábbi ötletsor alkalmazásával lehet levezetni.

R _{A / B} = r _A - R _B; A viszonylagos helyzete B-hez viszonyítva

v _{A / B} = v _A - v _B; A viszonylagos sebessége B-hez viszonyítva

a _{A / B} = a _A - a _B; A viszonylagos gyorsulása B-hez viszonyítva

Példák: megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Legyen A, B és C párhuzamos vektorok.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

Itt adhatjuk a kapott vektort V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

- Határozza meg a pontterméket (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

- Számítsa ki az A és C közötti szöget

(A. C) = -A -.- C. Cos. Θ ahol θ a vektorok közötti legrövidebb szög

θ = 88,63 ⁰

-Keressen egy, az A-ra és B-re merőleges vektort

Ehhez meg kell határozni a vektor-terméket (-1, 3, 5) és (3, 5, -2) között. Mint korábban kifejtettük, 3 x 3 mátrixot készítünk, ahol az első sor hármas egységvektorokból áll (i, j, k). Ezután a 2. és a 3. sort a működésre szánt vektorok alkotják, tiszteletben tartva a működési sorrendet.

(A x B) = = i - j + k

(AxB) = (-5 - 9) I - (2-15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

2. gyakorlat

Legyen V _a és V _b az A és B sebességvektorok. Számítsa ki a B sebességét az A ponttól

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Ebben az esetben a B relatív sebességét igénylik az A V _{B / A-hoz} viszonyítva

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Ez az B sebességvektora az A-ból nézve. Ahol egy B-sebesség új vektorát írják le, figyelembe véve egy A-nál elhelyezkedő megfigyelőt, és az A sebességgel mozognak.

Javasolt gyakorlatok

1-Konstruáljon 3 egyidejű A, B és C vektort, és gyakorlati feladat segítségével összekapcsolja a 3 műveletet közöttük.

2-Legyenek A: (-2,4, -11), B: (1, -6, 9) és C: (-2, -1, 10) vektorok. Keresse meg a következőkre merőleges vektorokat: A és B, C és B, Az A + B + C összeg.

4 - Határozzon meg 3 egymásra merőleges vektort, a koordinátatengelyek figyelembevétele nélkül.

5 - Adja meg az elvégzett munkát egy erővel, amely 5 kg tömegű blokkot emel fel a 20 m mélységű kút aljától.

6 - Mutassa be algebrai módon, hogy a vektorok kivonása megegyezik az ellenkező vektor összegével. Indokolja a posztulációit.

7-Jelöljön egy vektort a cikkben kifejtett összes jelölésben. (Derékszögű, poláris, analitikus és gömb alakú).

8 - Az asztalon nyugvó mágnesre gyakorolt ​​mágneses erőket a következő vektorok adják; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Határozza meg, hogy a mágnes melyik irányba fog mozogni, ha az összes mágneses erő egyszerre hat.

Irodalom

1. Euklideszi geometria és transzformációk. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, január 1 2004
2. Az alkalmazott matematikai problémák megoldása L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, április 10 2013
3. A geometria alapelvei. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, október 4. 2012
4. Vektor. Rocío Navarro Lacoba, június 7. 2014
5. Lineáris algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006