A szabad vektorok azok, amelyeket teljes egészében meghatároztunk annak nagysága, iránya és értelme alapján, anélkül, hogy szükség lenne az alkalmazási pont vagy egy adott származási hely jelzésére.
Mivel a végtelen vektorok így rajzolhatók, a szabad vektor nem egyetlen entitás, hanem párhuzamos és azonos vektorok halmaza, amelyek függetlenek a hol vannak.
1. ábra. Különböző szabad vektorok. Forrás: saját készítésű.
Tegyük fel, hogy van több, 3-as nagyságrendű, függőlegesen felfelé vagy 5-ös nagyságrendű és jobbra dőlő vektor, mint az 1. ábra.
Ezen vektorok egyikét sem alkalmazzák konkrétan egyetlen ponton sem. Akkor a kék vagy a zöld vektor reprezentatív a saját csoportjukra, mivel azok jellemzői - modul, irány és érzék - egyáltalán nem változnak, amikor a sík másik helyére kerülnek.
A szabad vektort általában nyomtatott szövegben félkövér betűkkel jelölik, például v. Vagy kisbetűvel és fölött egy nyíllal, ha kézírásos szöveg .
A szabad vektorok előnye, hogy mozgathatók a síkon vagy a térben, és megtarthatják tulajdonságaikat, mivel a halmaz bármely képviselője ugyanolyan érvényes.
Ezért használják a fizikában és a mechanikában gyakran. Például egy mozgó szilárd anyag lineáris sebességének jelöléséhez nem szükséges kiválasztani az objektum egy adott pontját. Tehát a sebességi vektor úgy viselkedik, mint egy szabad vektor.
A szabad vektor másik példája az erőkpárja. A pár két azonos méretű és irányú, de ellentétes irányú erőből áll, amelyeket egy szilárd anyag különböző pontjaira alkalmaznak. Egy pár azzal jár, hogy nem mozgatja a tárgyat, hanem egy forgást okoz a létrehozott pillanatnak köszönhetően.
A 2. ábra a kormánykerékre kifejtett néhány erőt mutatja. Az F 1 és F 2 erők révén létrejön olyan nyomaték, amely a lendkerék közepén és az óramutató járásával megegyező irányban forog.
2. ábra. A kormánykerékre kifejtett néhány erő az óramutató járásával megegyező irányban forog. Forrás: Bielasko.
Végezhet bizonyos változtatásokat a nyomatékban, és továbbra is ugyanolyan forgóhatást érhet el, például növelheti az erőt, de csökkentheti a köztük lévő távolságot. Vagy tartsa fenn az erőt és a távolságot, de hajtsa be a nyomatékot a kormánykerék másik két pontjára, azaz forgassa el a nyomatékot a középpont körül.
A pár vagy egyszerűen a pár pillanata egy olyan vektor, amelynek modulus Fd és merőleges a lendkerék síkjára. A szokásos módon bemutatott példában az óramutató járásával megegyező irányban történő forgatás negatív irányú.
Tulajdonságok és jellemzők
A v szabad vektorral ellentétben az AB és CD vektorok fixek (lásd a 3. ábrát), mivel rendelkeznek egy meghatározott kezdő- és érkezési ponttal. Mivel azonban a csapat lencséje egymással, és viszont a v vektorral, reprezentatívak a v szabad vektorral.
3. ábra: Szabad vektorok, csapatlencse-vektorok és rögzített vektorok. Forrás: saját készítésű.
A szabad vektorok fő tulajdonságai a következők:
- Bármely AB vektor (lásd a 2. ábrát), ahogy azt már említettük, reprezentálja a v szabad vektort.
-A modul, az irány és az értelme megegyezik a szabad vektor bármelyik képviselőjével. A 2. ábrán az AB és CD vektorok a v szabad vektort ábrázolják, és csoportosan lencsék.
- Ha egy P pontot adunk az űrben, akkor mindig megtalálható egy olyan v szabad vektor képviselője, amelynek eredete P-ben van, és ez a képviselő egyedi. Ez a szabad vektorok legfontosabb tulajdonsága, és olyan sokoldalúvá teszi őket.
-A nullmentes vektort 0-nak nevezzük, és az olyan vektorok halmaza, amelyekben nincs nagyság, irány és értelme.
-Ha az AB vektor képviseli a v szabad vektort, akkor a BA vektor jelenti a szabad vektort - v.
-A V 3 jelölést használjuk az összes szabad vektor halmazának jelölésére a térben, és V 2 jelölést használunk az összes szabad vektor jelölésére a síkon.
Megoldott gyakorlatok
Szabad vektorokkal a következő műveleteket lehet végrehajtani:
-Összeg
-Kivonás
-Skaláris multiplikációja egy vektorral
-Skaláris termék két vektor között.
- Kereszttermék két vektor között
-Vektorok lineáris kombinációja
És több.
-1. Feladat
A hallgató megpróbál úszni a folyó egyik partján, közvetlenül a másikkal szemben. Ennek elérése érdekében közvetlenül 6 km / h sebességgel, merőleges irányban úszik, azonban az áram sebessége 4 km / h, amely eltéríti.
Számítsa ki az úszó eredő sebességét és azt, hogy mekkora mértékben eltéríti az áram.
Megoldás
Az úszó eredményül kapott sebessége az ő sebességének (a folyóhoz viszonyítva függőlegesen felfelé húzott) és a folyó sebességének (balról jobbra húzott) vektorösszege, amelyet az alábbi ábra szerint kell végrehajtani:
A kapott sebesség nagysága megfelel a bemutatott jobb oldali háromszög hipotenuszának, tehát:
v = (6 2 + 4 2) ½ km / h = 7,2 km / h
Az irány kiszámítható a partra merőleges szög alapján:
α = arctg (4/6) = 33,7º vagy 56,3º a parthoz képest.
2. gyakorlat
Keresse meg az ábrán látható erőpárok pillanatát:
Megoldás
A pillanatot kiszámítja:
M = r x F
A pillanat egységei lb-f.ft. Mivel a pár a képernyő síkjában helyezkedik el, a pillanat merőlegesen van rá irányítva, kifelé vagy befelé.
Mivel a példában a nyomaték hajlamos az objektum elforgatására (amelyre az ábrán nem látható) az óramutató járásával megegyezően, ezt a pillanatot úgy kell tekinteni, hogy a képernyőre mutat és negatív jellel rendelkezik.
A pillanat nagysága M = Fdsen a, ahol a az erő és az r vektor közötti szög . Ki kell választania egy pontot, amellyel kiszámítja a pillanatot, amely egy szabad vektor. A referenciarendszer eredetét választják, tehát r O-ról az egyes erő alkalmazási pontjára megy.
M 1 = M 2 = -Fdsen60 ° = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. láb
A nettó momentum az M 1 és M 2 összege: -17329,5 lb-f. láb.
Irodalom
- Beardon, T. 2011. Bevezetés a vektorokba. Helyreállítva: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Mérnöki mechanika: Statika. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika, 31-68.
- Fizikai. 8. modul: Vektorok. Helyreállítva: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanika a mérnökök számára. Statikus 6. kiadás. Continental Publishing Company. 15-53.
- Vektor kiegészítés kalkulátor. Helyreállítva: 1728.org
- Vektor. Helyreállítva: en.wikibooks.org