NEM KOPLANÁRIS VEKTOROK: MEGHATÁROZÁS, FELTÉTELEK, GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2026

A nem koplanáris vektorok azok, amelyek nem osztják ugyanazt a síkot. Két szabad vektor és egy pont egy síkot határoz meg. Egy harmadik vektor megoszthatja vagy nem oszthatja meg ezt a síkot, és ha nem, akkor ezek nem koplanáris vektorok.

A nem síkbeli vektorok nem reprezentálhatók kétdimenziós terekben, például egy táblára vagy papírlapra, mivel ezek közül néhány a harmadik dimenzióba tartozik. A megfelelő ábrázoláshoz perspektívát kell használnod.

1. ábra: Koplánáris és nem koplanáris vektorok. (Saját kidolgozás)

Ha az 1. ábrát nézzük, akkor az összes látható tárgy szigorúan a képernyő síkjában helyezkedik el, azonban a perspektívanak köszönhetően az agyunk képes elképzelni egy belőle kilépő síkot (P).

Ezen a síkon (P) vannak r, s, u vektorok, míg az v és w vektorok nem abban a síkban vannak.

Ezért az r, s, u vektorok egymással síkban vagy több síkban vannak, mivel ugyanaz a sík (P). A v és w vektorok nem osztoznak egy síkon a többi ábrázolt vektorral, ezért nem koplanárisak.

Másoldali vektorok és a sík egyenlete

A sík egyedileg meghatározható, ha három pont van a háromdimenziós térben.

Tegyük fel, hogy ez a három pont az A, B és C pont, amelyek meghatározzák a síkot (P). Ezekkel a pontokkal két olyan AB = u és AC = v vektort lehet felépíteni, amelyek építkezésük szerint egy síkban vannak (P).

E két vektor keresztirányú terméke (vagy kereszteződése) egy harmadik vektort merőleges (vagy normál) vele, tehát merőleges a síkra (P):

n = u X v => n ⊥ u és n ⊥ v => n ⊥ (P)

A síkhoz tartozó bármely más pontnak meg kell győződnie arról, hogy az AQ vektor merőleges az n vektorral; Ez egyenértékű azzal, hogy a pont a termék (vagy dot termék) az n és AQ nullának kell lennie:

n • AQ = 0 (*)

Az előző feltétel megegyezik azzal, hogy:

AQ • (u X v) = 0

Ez az egyenlet biztosítja, hogy a Q pont a (P) síkhoz tartozik.

A sík derékszögű egyenlete

A fenti egyenlet derékszögű formában írható. Ehhez az A, Q pontok és a normál n vektor összetevőinek koordinátáit írjuk:

Tehát az AQ alkotóelemei:

Az AQ vektornak az a feltétele, hogy a síkban legyen (P), a (*) feltétel, amelyet most így írnak:

A ponttermék kiszámítása megmarad:

Ha továbbfejlesztik és átalakítják, akkor az marad:

Az előző kifejezés a sík (P) derékszögű egyenlete, a (P) -hez normál vektor komponenseinek és a (P) -hez tartozó A pont koordinátáinak függvényében.

Három vektor nem-síkbeli feltételei

Mint az előző szakaszban láttuk, az AQ • (u X v) = 0 feltétel garantálja, hogy az AQ vektor u és v egyenes vonalú lesz.

Ha az AQ w vektornak nevezzük, akkor megerősíthetjük, hogy:

w, u és v azonos síkban vannak, csak akkor, ha w • (u X v) = 0.

Nem koplanaritás feltétel

Ha a három vektor hármas terméke (vagy vegyes terméke) nullától eltér, akkor ez a három vektor nem koplanáris.

Ha w • (u X v) ≠ 0, akkor az u, v és w vektorok nem koplanárisak.

Az u, v és w vektorok derékszögű komponenseinek bevezetése esetén a nem-koplanaritás feltétele így írható:

A hármas termék geometriai értelmezéssel rendelkezik, és a három nem koplanáris vektor által generált párhuzamos csövet térfogatát képviseli.

2. ábra: Három nem koplanáris vektor határozza meg a párhuzamos csövet, amelynek térfogata a hármas termék modulja. (Saját kidolgozás)

Ennek oka a következő: Ha a nem koplanáris vektorok közül kettőt megszorozzuk vektorokkal, olyan vektort kapunk, amelynek nagysága az általuk generált párhuzamos diagram területe.

Amikor ezt a vektort skálárisan megszorozzuk a harmadik nem koplanáris vektorral, akkor a síkra merőleges vektorra vetítünk vetületet, amelyet az első kettő szoroz meg az általuk meghatározott területtel.

Más szavakkal, az első kettő által generált párhuzamos diagram területét megszorozzuk a harmadik vektor magasságával.

A nem-hasonlóság alternatív feltétele

Ha három vektorja van, és egyiket sem lehet írni a másik kettő lineáris kombinációjaként, akkor a három vektor nem koplanáris. Vagyis három u, v és w vektor nem koplanáris, ha a feltétel:

α u + β v + γ w = 0

Csak akkor teljesül, ha α = 0, β = 0 és γ = 0.

Megoldott gyakorlatok

-1. Feladat

Három vektor van

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) és w = (-1, 2, z)

Vegye figyelembe, hogy a w vektor z komponense ismeretlen.

Keresse meg az értéktartományt, amelyben a z olyan lehet, hogy garantált, hogy a három vektor nem oszlik meg ugyanazon síkon.

Megoldás

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Ezt a kifejezést nullával egyenlővé tesszük

21 z + 18 = 0

és megoldjuk z-re

z = -18 / 21 = -6/7

Ha a z változó értéke -6/7, akkor a három vektor koplanáris lesz.

Tehát z értékei, amelyek garantálják, hogy a vektorok nem koplanárisak, a következő intervallumban legyenek:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- 2. gyakorlat

Keresse meg a következő ábra szerinti párhuzamos cső térfogatát:

Megoldás

Az ábrán látható párhuzamos csúcs térfogatának meghatározásához meghatározzuk a koordinátarendszer kezdetén álló három párhuzamos nem koplanáris vektor derékszögű komponenseit. Az első az a vektor u a 4m és párhuzamos az X tengellyel:

u = (4, 0, 0) m

A második a 3m méretű XY síkban lévő v vektor, amely az X tengelygel 60 ° -ot alkot:

v = (3 * cos 60 °, 3 * sin 60 °, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

És a harmadik az 5 m w, amelynek vetülete az XY síkban az X tengelyhez képest 60 °, emellett a w a 30 ° -ot képezi a Z tengely felé.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

A számítások elvégzése után: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Irodalom

1. Figueroa, D. Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika. 31-68.
2. Fizikai. 8. modul: Vektorok. Helyreállítva: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika a mérnökök számára. Statikus 6. kiadás. Continental Publishing Company, 28-66.
4. McLean, W. Schaum sorozat. Mechanika mérnökök számára: statika és dinamika. 3. kiadás. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Helyreállítva: es.wikipedia.org