NÉGYSZÖG: ELEMEK, TULAJDONSÁGOK, OSZTÁLYOZÁS, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A négyszög egy sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. Ellentétes oldalai azok, amelyeknek nincs közös csúcsa, míg egymást követő oldalai azok, amelyeknek közös csúcsa van.

Négyszögben a szomszédos szögeknek az egyik oldala oszlik meg, míg az ellentétes szögeknek nincs közös oldala. A négyszög másik fontos jellemzője, hogy négy belső szöge összege a sík szögének kétszerese, azaz 360º vagy 2π sugár.

1. ábra. Különböző négyszögek. Forrás: F. Zapata.

Átlóságok azok a szegmensek, amelyek egy csúcshoz csatlakoznak annak ellenkezőjével, és egy adott négyszögben minden egyes csúcsból egyetlen átlós vonal húzható. A négyszög átlóinak száma összesen kettő.

A négyszögek olyan alakok, amelyeket az emberiség az ókorban ismert. A régészeti leletek, valamint a ma fennmaradó építmények ezt igazolják.

Hasonlóképpen, ma a négyszögek továbbra is fontos szerepet játszanak mindenki mindennapi életében. Az olvasó megtalálhatja ezt az űrlapot a képernyőn, amelyen éppen a szöveget olvassa, az ablakokon, ajtókon, autóalkatrészekben és számtalan más helyen.

Négyszögletes osztályozás

Az ellentétes oldalak párhuzamossága szerint a négyszögeket a következőképpen osztályozzuk:

1. Trapéz alakú, ha nincs párhuzamosság és a négyszög domború.
2. Trapéz alakú, ha párhuzamosság van az ellenkező oldalak egyetlen párja között.
3. Parallelogram, amikor annak ellenkező oldalai kétszer párhuzamosak.

2. ábra. A négyszög osztályozása és alkategóriája. Forrás: Wikimedia Commons.

A párhuzamos diagram típusai

A párhuzamos rajzokat viszont szögeik és oldaluk szerint az alábbiak szerint lehet osztályozni:

1. A téglalap az a párhuzamos ábra, amelynek négy belső szöge egyenlő. A téglalap belső szöge derékszöget (90º) alkot.
2. Négyzet, ez egy téglalap, amelynek négy oldala egyenlő.
3. A rombusz a négy azonos oldalával, de a szomszédos szögekkel párhuzamos ábra.
4. Rombusz, párhuzamos ábra, különböző szomszédos szögekkel.

Trapéz

A trapéz alakú konvex négyszög két párhuzamos oldallal.

3. ábra: A trapéz aljai, oldalai, magassága és mediánja. Forrás: Wikimedia Commons.

- Egy trapéz alakban a párhuzamos oldalakat alapoknak, a nem párhuzamos oldalakat oldalsóknak nevezzük.

- A trapéz magassága a két bázis közötti távolság, azaz egy szegmens hossza, amelynek vége az alapoknál merőleges és azokra merőleges. Ezt a szegmenst a trapéz magasságának is nevezik.

- A medián az a szegmens, amely csatlakozik az oldalsó pontokhoz. Megmutatható, hogy a medián párhuzamos a trapéz alapjaival és hossza megegyezik a bázis félvezetőjével.

- A trapéz terület területe annak magassága, szorozva az alapok részösszegével:

A trapéz típusok

-Téglalap alakú trapéz: az alapokkal merőleges oldalsó. Ez az oldal a trapéz magassága is.

-Szögletes trapéz: az azonos hosszúságú oldalakkal. Egy egyenlő szárú trapéz alakban a bázisokkal szomszédos szögek megegyeznek.

-Scalene trapezium: az oldala különböző hosszúságú. Ellentétes szögei lehetnek egyak és a másik tompák, de előfordulhat, hogy mindkettő tompa vagy mindkettő akut.

4. ábra. A trapéz típusai. Forrás: F. Zapata.

Paralelogramma

A párhuzamos ábra egy négyszög, amelynek ellenkező oldalai kettővel párhuzamosak. Egy párhuzamos ábrán az ellenkező szögek megegyeznek, és a szomszédos szögek kiegészítők, vagy másképpen fogalmazva: a szomszédos szögek 180º-ig terjednek.

Ha egy párhuzamos diagramnak derékszöge van, akkor az összes többi szög is lesz, és az eredményül kapott képet téglalapnak nevezik. De ha a téglalapnak ugyanolyan hosszú szomszédos oldalai vannak, akkor az összes oldala egyenlő, és a kapott ábra négyzet alakú.

5. ábra. Parallelogramok. A téglalap, a négyzet és a rombus párhuzamos diagramok. Forrás: F. Zapata.

Ha egy párhuzamos ábranek két azonos szomszédságú szomszédos oldala van, az összes oldala azonos hosszúságú lesz, és a kapott ábra rombusz.

A párhuzamos ábra magassága egy szegmens, amelynek vége az ellenkező oldalán merőleges.

A párhuzamos ábra területe

A párhuzamos ábra területe az alap szorzata a magasságának szorzataként, az alapnak a magasságra merőleges oldala van (6. ábra).

A párhuzamos diagram átlói

A csúcsból induló átlós négyzet megegyezik a csúcshoz szomszédos két oldal négyzetének összegével, plusz ezen oldalak kettős szorzata a csúcs szögének koszinuszával:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

6. ábra. Parallelogram. Szemben lévő szögek, magasság, átlók. Forrás: F. Zapata.

A párhuzamos ábra csúcsával szemben lévő átlós négyzet megegyezik az említett csúcshoz szomszédos két oldal négyzetének összegével, és az ezen oldalak kettős szorzatát kivonja a csúcs szögének koszinuszán:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

A párhuzamos diagramok törvénye

Bármely párhuzamos diagramban az oldalának négyzeteinek összege megegyezik az átlók négyzetének összegével:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

A téglalap négyszög, ellentétes oldalai kettővel párhuzamosak, és szintén derékszögűek. Más szavakkal, a téglalap egyfajta derékszögű párhuzamos diagram. Mivel ez egy párhuzamos diagram, a téglalapnak a = c és b = d azonos hosszúságú, egymással szemben lévő oldalai vannak.

Mint minden paralelogramon, a szomszédos szögek kiegészítők és az ellenkező szögek megegyeznek, a téglalapban, mivel derékszögének van szüksége, ez szükségszerűen derékszöget képez a másik három szögben is. Más szavakkal: egy téglalapban az összes belső szög 90º vagy π / 2 sugár mértéke.

Egy téglalap átlója

Egy téglalapban az átlók azonos hosszúságúak, amint azt az alábbiakban bemutatjuk. Az érvelés a következő: A téglalap egy párhuzamos diagram, annak minden szögével, és ezért örököli a párhuzamos diagram összes tulajdonságát, ideértve a képletet, amely megadja az átlók hosszát:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

α = 90º-val

Mivel a Cos (90º) = 0, akkor történik, hogy:

f ² = g ² = a ² + d ²

Vagyis f = g, ezért a téglalap két átlójának f és g hossza megegyezik, és hosszukat a következő adja meg:

Ezenkívül, ha egy téglalapban szomszédos a és b oldalakkal az egyik oldalt vesszük alapul, akkor a másik oldal magasságú lesz, és ennek következtében a téglalap területe:

A téglalap területe = ax b.

A kerület a téglalap összes oldalának összege, de mivel az ellentétek azonosak, ebből következik, hogy az a és b oldalú téglalapra a kerületet a következő képlet adja meg:

A téglalap kerülete = 2 (a + b)

7. ábra: Téglalap az a és b oldalakkal. Az f és g átlók azonos hosszúságúak. Forrás: F. Zapata.

Négyzet

A négyzet egy téglalap, amelynek szomszédos oldalai azonos hosszúságúak. Ha a négyzetnek az a oldala van, akkor f és g átlója azonos hosszúságú, azaz f = g = (√2) a.

A négyzet területe az oldalának négyzete:

Négyzet területe = a ²

A négyzet kerülete az oldal kétszerese:

Négyzet kerülete = 4 a

8. ábra: Négyzet az a oldallal, jelezve annak területét, kerületét és átlóinak hosszát. Forrás: F. Zapata..

gyémánt

A rombusz párhuzamos ábra, amelynek szomszédos oldala azonos hosszúságú, de mivel egy párhuzamos ábrában az ellenkező oldalak azonosak, akkor a rombusz minden oldala hosszú.

A rombusz átlói különböző hosszúságúak, de derékszögben metszik egymást.

9. ábra: az a oldal rombusa, jelezve annak területét, kerületét és átlóinak hosszát. Forrás: F. Zapata.

Példák

1. példa

Mutassa be, hogy egy négyszögben (nem keresztezve) a belső szögek összege 360º.

10. ábra: Megmutatjuk, hogy egy négyszög szögeinek összege hogyan növekszik 360 ° -ig. Forrás: F. Zapata.

Figyelembe vesszük az ABCD négyszögét (lásd a 10. ábrát), és rajzoljuk a BD átlót. Két ABD és BCD háromszög alakul ki. Az ABD háromszög belső szögeinek összege:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

És a BCD háromszög belső szögeinek összege:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

A két egyenlet hozzáadásával kapjuk meg:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Csoportosítás:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

Csoportosítva és átnevezve végül bebizonyosodik, hogy:

α + β + δ + γ = 360º

2. példa

Mutassuk meg, hogy a trapéz mediánja párhuzamos-e az alapjaival és hossza az alapok félévje.

11. ábra. Az ABCD trapéz medián MN-je. Forrás: F. Zapata.

A trapéz mediánja az a szegmens, amely összekapcsolódik oldalainak középpontjával, azaz a nem párhuzamos oldalakkal. A 11. ábrán látható ABCD trapéz alakban a medián MN.

Mivel M az AD középpontja és N a BC középpontja, az AM / AD és a BN / BC arány megegyezik.

Vagyis az AM arányos a BN-vel, ugyanolyan arányban, mint az AD BC-é, tehát megadják a Thales (kölcsönös) tétel alkalmazásának feltételeit, amely a következőket állítja:

"Ha az arányos szegmenseket három vagy annál több vonalon határozzuk meg, amelyek két szektort vágnak, akkor ezek a vonalak mind párhuzamosak."

Esetünkben arra a következtetésre jutottunk, hogy az MN, AB és DC egyenesek párhuzamosak egymással, tehát:

"A trapéz mediánja párhuzamos az alapjaival."

Most a Thales-tételt kell alkalmazni:

"A két vagy több szekcióval levágott párhuzamos halmaz meghatározza az arányos szegmenseket."

Esetünkben AD = 2 AM, AC = 2 AO, tehát a DAC háromszög hasonló a MAO háromszöghez, következésképpen DC = 2 MO.

Egy hasonló érv lehetővé teszi annak megerősítését, hogy a CAB hasonló a CON-hoz, ahol CA = 2 CO és CB = 2 CN. Azonban következik, hogy AB = 2 BE.

Röviden: AB = 2 ON és DC = 2 MO. Tehát amikor hozzáadjuk, akkor:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Végül az MN törlődik:

MN = (AB + DC) / 2

Megállapítottuk, hogy a trapéz mediánja méri a bázisok félösszegét, vagy másképpen fogalmazva: a medián a bázisok összegét méri, kettővel megosztva.

3. példa

Mutassuk meg, hogy egy rombuszban az átlók derékszögben metszik egymást.

12. ábra. Rombusz és annak bemutatása, hogy átlói merőlegesen metszik egymást. Forrás: F. Zapata.

A 12. ábrán látható tábla bemutatja a szükséges szerkezetet. Először az ABCD párhuzamos ábrát rajzoljuk AB = BC-vel, azaz rombussal. Az AC és a DB átlók az ábrán látható nyolc szöget határozzák meg.

Az aip segítségével, amely kijelenti, hogy a szekanta által kivágott párhuzamok közötti alternatív belső szögek azonos szögeket határoznak meg, megállapíthatjuk a következőt:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ és δ2 = β2. (*)

Másrészt, mivel a rombusz szomszédos oldalai azonos hosszúságúak, négy egyenlő szárú háromszöget kell meghatározni:

DAB, BCD, CDA és ABC

Most a háromszög (egyenlő szárú) tételre hivatkozunk, amely kimondja, hogy az alap melletti szögek egyenlő nagyságrendűek, és ebből arra a következtetésre jutottak, hogy:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ és α ₁ = γ2 (**)

Ha a (*) és (**) kapcsolatokat kombináljuk, akkor a következő szögek egyenlőségét érjük el:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ egyrészt és β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2.

Emlékeztetve az egyenlő háromszögek tételét, amely szerint két azonos szög között azonos oldalú háromszög egyenlő, akkor:

AOD = AOB, következésképpen az ∡AOD = ∡AOB szögek is.

Ezután ∡AOD + ∡AOB = 180º, de mivel mindkét szög azonos méretű, 2 ∡AOD = 180º van, ami azt jelenti, hogy ∡AOD = 90º.

Vagyis geometriailag látható, hogy a rombusz átlói derékszögben metszik egymást.

A feladatok megoldottak

- 1. Feladat

Mutassuk meg, hogy egy jobboldali trapéz alakban a nem derékszög kiegészítő.

Megoldás

13. ábra. Jobb oldali trapéz. Forrás: F. Zapata.

Az ABCD trapéz alakú AB és DC bázisokkal párhuzamosan készülnek. Az A csúcs belső szöge megfelelő (90 ° -ot mér), tehát van egy jobb trapéz alakjuk.

Az α és δ szögek két szög között vannak az AB és DC párhuzamok között, ezért egyenlők, azaz δ = α = 90º.

Másrészt kimutatták, hogy a négyszög belső szögeinek összege 360º-ot tesz ki, azaz:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

A fentiek az alábbiakhoz vezetnek:

β + δ = 180º

Megerősítve azt, amit meg akartunk mutatni, hogy a β és δ szögek kiegészítők.

- 2. gyakorlat

Az ABCD párhuzamos ábra AB = 2 cm és AD = 1 cm, továbbá a BAD szög 30º. Határozzuk meg ennek a párhuzamos ábranak a területét és két átlójának hosszát.

Megoldás

A párhuzamos ábra területe az alap hosszának és magasságának szorzata. Ebben az esetben a b = AB = 2 cm szegmens hosszát vesszük alapul, a másik oldal hossza a = AD = 1 cm, és a h magasságot az alábbiak szerint kell kiszámítani:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Tehát: Terület = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Irodalom

1. CEA (2003). Geometriai elemek: gyakorlatokkal és iránytű geometriával. Medellini Egyetem.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Fedezze fel a sokszögeket. Összehasonlító oktatási társaság.
4. Hendrik, V. (2013). Általános poligonok. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematika első félév Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Sokszög. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren és Hornsby. (2006). Matematika: érvelés és alkalmazások (tizedik kiadás). Pearson oktatás.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Szerkesztési progreso.
9. Wikipedia. Négyszöget. Helyreállítva: es.wikipedia.com