NORMÁL ELOSZLÁS: KÉPLET, JELLEMZŐK, PÉLDA, GYAKORLAT - MATEMATIKA - 2025

A normál eloszlás vagy a Gauss-eloszlás a valószínűségi eloszlás egy folyamatos változóban, amelyben a valószínűség-sűrűség függvényt egy kvadratikus és negatív argumentum exponenciális függvénye írja le, amely harang alakját eredményezi.

A normál eloszlás neve abból a tényből származik, hogy ez az eloszlás vonatkozik a legtöbb helyzetre, amikor egy adott csoportban vagy populációban valamilyen folyamatos véletlen változó van jelen.

1. ábra: N (x; μ, σ) normál eloszlása ​​és f (s; μ, σ) valószínűségi sűrűsége. (Saját kidolgozás)

Példák a normál eloszlás alkalmazására: a férfiak vagy a nők magassága, a fizikai nagyság mértékének változásai vagy a mérhető pszichológiai vagy szociológiai tulajdonságok, például az intellektuális hányados vagy az adott termék fogyasztási szokásai.

Másrészt Gauss-eloszlásnak vagy Gauss-csengőnek hívják, mert ezt a német matematikai zsenit hitelesítik felfedezésükben arra a felhasználásra, amelyet az 1800-as évben a csillagászati ​​mérések statisztikai hibájának leírására adott.

Azt állítják azonban, hogy ezt a statisztikai eloszlást korábban egy másik francia származású matematikus, például Abraham de Moivre, 1733-ban tette közzé.

Képlet

A folyamatos x változóban a μ és σ paraméterekkel a normál eloszlási függvényt a következők jelölik:

N (x; μ, σ)

és ezt kifejezetten így írják:

N (x; μ, σ) = ∫ _-∞ ^x f (s; μ, σ) ds

ahol f (u; μ, σ) a valószínűségi sűrűségfüggvény:

f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s ² / (2σ ²))

A valószínűségi sűrűségfüggvényben az exponenciális függvényt megszorozó konstansot normalizálási állandónak nevezzük, és úgy választottuk meg, hogy:

N (+ ∞, μ, σ) = 1

Az előző kifejezés biztosítja, hogy annak valószínűsége, hogy az x véletlen változó -∞ és + ∞ között legyen, 1, azaz 100% valószínűség.

A μ paraméter az x folyamatos véletlen változó számtani átlaga és σ ugyanazon változó szórásának szórása vagy négyzetgyöke. Abban az esetben, ha μ = 0 és σ = 1, akkor van a normál normál eloszlás vagy a tipikus normál eloszlás:

N (x; μ = 0, σ = 1)

A normál eloszlás jellemzői

1- Ha egy véletlenszerű statisztikai változó az f (s; μ, σ) valószínűségi sűrűség normál eloszlását követi, akkor az adatok többségét a μ átlagérték köré csoportosítják, és olyan körül vannak szétszórva, hogy alig több, mint Az adatok μ - σ és μ + σ között vannak.

2- A σ szórás mindig pozitív.

3- Az f sűrűségfüggvény alakja hasonló a harang alakjához, ezért ezt a funkciót gyakran Gauss-csengőnek vagy Gauss-függvénynek hívják.

4- Gauss-eloszlásban az átlag, a medián és a modell egybeesik.

5- A valószínűségi sűrűség függvényének inflexiós pontjai pontosan μ - σ és μ + σ ponton vannak.

6- Az f függvény szimmetrikus egy μ átlagát áthaladó tengely körül, és aszimptotikusan nulla x ⟶ + ∞ és x ⟶ -∞ esetén.

7- Minél nagyobb a σ értéke, annál nagyobb az adatok szétszóródása, zaja vagy távolsága az átlagérték körül. Más szavakkal: minél nagyobb σ a harang alakja, annál nyitottabb. Másrészt, a σ kicsi azt jelzi, hogy a kocka közel van az átlaghoz, és a harang alakja zártabb vagy hegyesebb.

8- Az N (x; μ, σ) eloszlási függvény azt a valószínűséget jelzi, hogy a véletlen változó x-nél kisebb vagy azzal egyenlő. Például az 1. ábrán (fent) a P valószínűség, hogy az x változó kevesebb vagy egyenlő 1,5, 84%, és megfelel az f (x; μ, σ) valószínűség-sűrűségfüggvény alatti területnek -∞-tól x-ig.

Bizalmi intervallumok

9 - Ha az adatok normál eloszlást követnek, akkor ezek 68,26% -a μ - σ és μ + σ között van.

A normál eloszlást követő adatok 10-95,44% -a μ - 2σ és μ + 2σ között van.

A normál eloszlást követő adatok 11-99,74% -a μ - 3σ és μ + 3σ között van.

12 - Ha egy x véletlen változó követi az N eloszlást (x; μ, σ), akkor a változót

z = (x - μ) / σ a normál normál eloszlást követi N (z; 0,1).

Az x változó z-re történő megváltoztatását szabványosításnak vagy gépelésnek nevezzük, és nagyon hasznos, ha a standard eloszlás táblázatait alkalmazzuk azokra a adatokra, amelyek egy nem szabványos normál eloszlást követnek.

A normál eloszlás alkalmazásai

A normál eloszlás alkalmazásához át kell számolni a valószínűségi sűrűség integráljának kiszámítását, amely analitikai szempontból nem könnyű, és nem mindig létezik olyan számítógépes program, amely lehetővé teszi számszerű kiszámítását. Erre a célra a normalizált vagy a szabványosított értékek táblázatait használjuk, ami μ = 0 és σ = 1 esetén nem más, mint a normál eloszlás.

Szabványosított normál eloszlási táblázat (1/2. Rész)

Szabványosított normál eloszlási táblázat (2/2. Rész)

Meg kell jegyezni, hogy ezek a táblák nem tartalmaznak negatív értékeket. A Gauss-féle valószínűség-sűrűségfüggvény szimmetria tulajdonságainak felhasználásával azonban megkaphatjuk a megfelelő értékeket. Az alább bemutatott megoldott feladat a táblázat használatát jelzi ezekben az esetekben.

Példa

Tegyük fel, hogy van egy véletlenszerű adatsor x, amely követi a középérték 10 normál eloszlását és a 2. szórást. Felkérjük a valószínűségét, hogy:

a) Az x véletlen változó 8-nál kisebb vagy azzal egyenlő.

b) 10-nél kisebb vagy azzal egyenlő.

c) Az x változó 12 alatt van.

d) annak valószínűsége, hogy az x-érték 8 és 12 között van.

Megoldás:

a) Az első kérdés megválaszolásához egyszerűen kiszámítania kell:

N (x; μ, σ)

X = 8 esetén, μ = 10 és σ = 2. Tisztában vagyunk azzal, hogy egy olyan integrál, amelyben nincs elemzési megoldás az alapfunkciókban, de a megoldást az erf (x) hibafüggvény függvényében fejezzük ki.

Másrészt fennáll annak a lehetősége, hogy az integrált numerikus formában oldja meg, és ezt sok számológép, táblázatok és számítógépes programok, például a GeoGebra teszik. A következő ábra az első esetnek megfelelő numerikus megoldást mutatja:

2. ábra: f (x; μ, σ) valószínűségi sűrűség. Az árnyékolt terület P (x ≤ 8) értéket képvisel. (Saját kidolgozás)

és a válasz az, hogy annak valószínűsége, hogy x 8-nál kisebb:

P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587

b) Ebben az esetben annak a valószínűségét keresni kell, hogy az x véletlen változó az átlag alatt van, amely ebben az esetben 10 érték. A válasz nem igényel számítást, mivel tudjuk, hogy az adatok fele kevesebb átlag és a másik fele átlag felett. Ezért a válasz:

P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5

c) A kérdés megválaszolásához ki kell számítanunk N-t (x = 12; μ = 10, σ = 2), amit meg lehet tenni egy statisztikai funkcióval rendelkező számológéppel, vagy olyan szoftver segítségével, mint a GeoGebra:

3. ábra: f (x; μ, σ) valószínűségi sűrűség. Az árnyékolt terület P (x ≤ 12) értéket képvisel. (Saját kidolgozás)

A c részre adott válasz a 3. ábrán látható, és a következő:

P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0,8413.

d) Az x véletlen változó 8 és 12 közötti valószínűségének megállapításához az a és c rész eredményeit az alábbiak szerint használhatjuk:

P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.

A feladat megoldódott

A cég részvényeinek átlagos ára 25 dollár, szórása 4 dollár. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy:

a) Egy akció költsége kevesebb, mint 20 USD.

b) Ennek költsége meghaladja a 30 dollárt.

c) Az ár 20 és 30 dollár között van.

A válaszok megtalálásához használja a normál normál eloszlási táblákat.

Megoldás:

A táblák kihasználása érdekében át kell adni a normalizált vagy beírt z változóhoz:

20 dollár a normalizált változóban: z = (20 dollár - 25 dollár) / 4 dollár = -5 / 4 = -1,25 és

A normalizált változóban a 30 USD egyenlő: z = (30 USD - 25 USD) / 4 USD = +5/4 = +1,25.

a) A 20 USD egyenlő -1,25-rel a normalizált változóban, de a táblázatnak nincs negatív értéke, tehát megkeressük azt a +1,25 értéket, amely 0,8944-et eredményez.

Ha 0,5-t levonunk erről az értékről, akkor az eredmény 0 és 1,25 közötti terület lesz, amely egyébként (szimmetrikusan) megegyezik a -1,25 és 0 közötti területtel. A kivonás eredménye 0,8944 - 0,5 = 0,3944, amely a -1,25 és 0 közötti terület.

De a -∞ és -1,25 közötti terület érdekes, ez 0,5 - 0,3944 = 0,1056. Ezért arra a következtetésre jutott, hogy annak valószínűsége, hogy egy részvény 20 dollár alatt van, 10,56%.

b) A $ z a tipizált z változóban 1,25. Ehhez az értékhez a táblázat a 0.8944 számot mutatja, amely a -∞ és +1,25 közötti területnek felel meg. A +1,25 és + ∞ közötti terület (1 - 0,8944) = 0,1056. Más szavakkal: annak a valószínűsége, hogy egy részvény 30 dollárnál többet fizet, 10,56%.

c) Az a valószínűség, hogy egy akció költségei 20 és 30 USD között vannak, a következőképpen számolják:

100% -10,56% - 10,56% = 78,88%

Irodalom

1. Statisztika és valószínűség. Normális eloszlás. Helyreállítva: projectdescartes.org
2. Geogebra. Klasszikus geogebra, valószínűségi számítás. Helyreállítva a geogebra.org webhelyről
3. MathWorks. Gauss-eloszlás. Helyreállítva: es.mathworks.com
4. Mendenhall, W. 1981. Statisztika menedzsment és közgazdaságtan számára. 3.. kiadás. Grupo Editorial Iberoamérica.
5. Stat Trek. Tanítsd magadnak a statisztikákat. Poisson eloszlás. Helyreállítva: stattrek.com,
6. Triola, M. 2012. Elemi statisztika. 11-én. Ed. Pearson Education.
7. Vigo Egyetem. Fő folyamatos eloszlások. Helyreállítva: anapg.webs.uvigo.es
8. Wikipedia. Normális eloszlás. Helyreállítva: es.wikipedia.org