AZ ARCHIMÉDIA ELVE: KÉPLET, BIZONYÍTÁS, ALKALMAZÁSOK - FIZIKAI - 2026

Az Archimedes elve kimondja, hogy a teljesen vagy részben elmerült test függőleges felfelé irányuló erőt kap, úgynevezett tolóerővel, amely megegyezik a test által elmozdított folyadék térfogatának súlyával.

Néhány tárgy vízben úszik, mások elsüllyednek, mások részben merülnek el. A strandlabda süllyedése érdekében erőfeszítést kell tenni, mert azonnal észreveszik azt az erőt, amely megpróbálja visszatérni a felszínre. Ehelyett egy fémgömb gyorsan süllyed.

1. ábra: Úszó léggömbök: Az Archimédia elve a gyakorlatban. Forrás: Pixabay.

Másrészt a merülött tárgyak könnyebbnek tűnnek, ezért a folyadék olyan erőt gyakorol, amely ellenáll a súlynak. De ez nem mindig képes kompenzálni a gravitációt. És bár ez a vízzel nyilvánvalóbb, a gázok képesek ezt az erőt létrehozni a bemerített tárgyakon is.

Történelem

Syracuse Archimedes (Kr. E. 287–212) volt az, aki felfedezte ezt az elvet, mivel a történelem egyik legnagyobb tudósa volt. Azt mondják, hogy II. Siracusa király elrendelte egy aranyévét, hogy készítsen neki új koronát, amelyért adott neki bizonyos mennyiségű aranyat.

Archimedes

Amikor a király megkapta az új koronát, a súlya megfelelő volt, de azt gyanította, hogy az ezüst megtévesztette őt azáltal, hogy arany helyett ezüstöt adott hozzá. Hogyan tudja bebizonyítani, hogy a koronát nem tönkretette?

Hiero felhívta Archimedes-t, akinek tudósának hírneve ismert volt, hogy segítsen neki megoldani a problémát. A legenda szerint Archimédesz elmerült a fürdőkádban, amikor megtalálta a választ, és ilyen érzelme volt az, hogy meztelenül futott a Syracuse utcáin, hogy keresse a királyt, és "eureka" -ra kiabált, ami azt jelenti: "Találtam őt".

Mit talált Archimedes? Nos, amikor fürdik, a vízszint a fürdőkádban emelkedett, amikor belépett, ami azt jelenti, hogy az alámerült test egy bizonyos mennyiségű folyadékot kiszorít.

És ha bemerítette a koronát vízbe, akkor ennek is ki kellett keltenie egy bizonyos mennyiségű vizet, ha a korona aranyból készült, és egy másik, ha a koronát ezüstötvözetből készítették.

Képlet

Az Archimedes elve által hivatkozott emelőerőt hidrosztatikus tolóerőnek vagy felhajtóerőnek nevezik, és amint mondtuk, ez megegyezik a test által elmerített folyadékmennyiség tömegével.

Az elmozdított térfogat megegyezik a teljes vagy részben elmerült tárgy térfogatával. Mivel bármi tömege mg, és a folyadék tömege sűrűség x térfogat, a tolóerő nagyságát B-vel jelölve, matematikailag:

B = m _folyadék xg = _folyadék sűrűsége x Merülő térfogat x gravitáció

B = ρ _folyadék x V _merülve xg

A görög ρ ("rho") betű sűrűségét jelöli.

Látható súly

A tárgyak súlyát a megszokott mg kifejezéssel számolják, azonban a dolgok könnyebben érzik magukat, ha vízbe merülnek.

A tárgy látszólagos tömege megegyezik azzal, ha vízbe vagy más folyadékba meríti, és megismerve azt egy szabálytalan tárgy, például Hiero király korona térfogata megkapható, amint az alább látható.

Ehhez teljesen belemerül a vízbe, és a próbapadhoz rögzített húrnak vetik alá - ez egy olyan rugóval felszerelt műszer, amelyet az erők mérésére használnak. Minél nagyobb a tárgy tömege, annál nagyobb a rugó meghosszabbodása, amelyet a készülékben megadott skálán mérnek.

2. ábra. Az alámerült tárgy látszólagos súlya. Forrás: F. Zapata készítette.

Newton második törvényének alkalmazása, tudva, hogy az objektum nyugalomban van:

ΣF _y = B + T - W = 0

A látszólagos W _a súly megegyezik a T húr feszültségével:

Mivel a tolóerő kompenzálja a súlyt, mivel a folyadék rész nyugalomban van, akkor:

Ebből a kifejezésből következik, hogy a tolóerő a henger felső és az alsó lapja közötti nyomáskülönbségből származik. Mivel W = mg = ρ folyadék. V. g, ennek:

Pontosan ez az előző szakaszban említett tolóerő kifejezése.

Alkalmazások

Az Archimédia elve számos gyakorlati alkalmazásban megjelenik, amelyek közül megnevezhetjük:

- Az aerosztatikus ballon. Amely a környező levegőnél alacsonyabb átlagos sűrűségének köszönhetően benne úszik a nyomóerő miatt.

- A hajók. A hajók héja nehezebb, mint a víz. De ha figyelembe vesszük az egész hajótest és a belsejében levő levegőt, akkor a teljes tömeg és a térfogat aránya kisebb, mint a vízé, és ez az oka annak, hogy a hajók úsznak.

- Mentőmellény. Könnyű és porózus anyagból készülnek, így képesek úszni, mert a tömeg-térfogat arány alacsonyabb, mint a vízé.

- Úszó, hogy bezárja a víztartály töltőcsapját. Ez egy nagy térfogatú, levegővel töltött gömb, amely a víz tetején lebeg, és amely a nyomóerővel megszorítva a nyomóerőt elzárja a víztartály töltőcsapjának kupakját, amikor az elérte a szintet. teljes.

Példák

1. példa

A legenda szerint Hiero király adott mennyiségű aranyat a korona előállításához, de a bizalmatlan uralkodó úgy gondolta, hogy az aranyművész csalhatott azzal, hogy az aranynál kevésbé értékes fémt helyezett a korona belsejébe. De honnan tudhatta meg a korona megsemmisítése nélkül?

A király Archimedesnek bízta meg a problémát, és megoldást keresve felfedezte híres elvét.

Tegyük fel, hogy a korona súlya 2,10 kg-f a levegőben és 1,95 kg-f, ha teljesen vízbe merül. Ebben az esetben van-e vagy nincs megtévesztés?

5. ábra Heron király korona szabad testének diagramja. Forrás: F. Zapata készítette

Az erők diagramját a fenti ábra mutatja. Ezek az erők: a korona P tömege, az E tolóerő és a skálán lógó kötél T feszültsége.

Ismert, hogy P = 2,10 kg-f és T = 1,95 kg-f, így kell meghatározni az E tolóerő nagyságát:

Másrészről, az Archimedes elve szerint az E tolóerő megegyezik a korona által elfoglalt helyből kiszorított víz tömegével, azaz a víz sűrűsége szorzata a korona térfogatának a gravitációs gyorsulás miatt:

Ahol a korona térfogata kiszámítható:

A korona sűrűsége hányadosa a koronának a vízből elért tömege és térfogata között:

A tiszta arany sűrűsége hasonló módszerrel meghatározható, és az eredmény 19300 kg / m ^ 3.

A két sűrűség összehasonlításával nyilvánvaló, hogy a korona nem tiszta arany!

2. példa

Az adatok és az 1. példa eredménye alapján meghatározható, hogy mekkora aranyat lopott el az aranyművész abban az esetben, ha az arany egy részét ezüst váltotta fel, amelynek sűrűsége 10 500 kg / m 3.

A korona sűrűségét ρc-nek, ρo-arany sűrűségnek és ρ _p -nek az ezüstsűrűségnek nevezzük.

A korona teljes tömege:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

A korona teljes térfogata az ezüst és az arany mennyisége:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

A tömeg egyenletében helyettesíteni kell:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

Vagyis az a teljes arany térfogata, amely a teljes V térfogatú koronát tartalmazza:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000–10500) / (19300–10500) = 0,00005966 m ^ 3

Ahhoz, hogy meghatározzuk a koronában levő arany súlyát, megszorozzuk a Vo értékét az arany sűrűségével:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Mivel a korona tömege 2,10 kg, tudjuk, hogy 0,94858 kg aranyat ellopta az aranyember, és ezüsttel helyettesítette.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Egy hatalmas hélium léggömb képes egyensúlyt tartani az emberrel (anélkül, hogy fel vagy le megy).

Tegyük fel, hogy az ember súlya, valamint a kosár, kötelek és ballon 70 kg. Mekkora a hélium térfogata ahhoz, hogy ez megtörténjen? Mekkora legyen a ballon?

Megoldás

Feltételezzük, hogy a tolóerőt elsősorban a hélium térfogata okozza, és hogy a többi alkatrész tolóerője nagyon kicsi a héliumhoz képest, amely sokkal nagyobb térfogatot foglal el.

Ebben az esetben olyan héliummennyiségre van szükség, amely képes 70 kg-os tolóerőt adni + a hélium tömege.

6. ábra: A héliummal töltött ballon szabad test diagramja. Forrás: F. Zapata készítette.

A tolóerő a hélium térfogatának és a hélium sűrűségének és a gravitáció gyorsulásának szorzata. Ennek a nyomásnak ki kell ellensúlyoznia a hélium tömegét, plusz az összes többi súlyát.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

amelyből arra a következtetésre jutottunk, hogy V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m 3

Vagyis az emelkedéshez légköri nyomáson 65,4 m ^ 3 hélium szükséges.

Ha feltesszük egy gömb alakú gömböt, a sugárát a gömb térfogatának és sugárának viszonya alapján találhatjuk meg:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Ahonnan R = 2,49 m. Más szavakkal, 5 m átmérőjű ballonra van szükség, amely héliummal van feltöltve.

2. gyakorlat

A víznél alacsonyabb sűrűségű anyagok úsznak benne. Tegyük fel, hogy van polisztirol (fehér parafa), fa és jégkockák. Sűrűségük kg / m3-ben: 20, 450 és 915.

Keresse meg a teljes térfogat hány részét a vízen kívül és milyen magasan áll a víz felszíne felett, vegyen 1000 kg / m köbméter sűrűségét.

Megoldás

Úszóképesség akkor jelentkezik, amikor a test súlya megegyezik a víz által kifejtett tolóerővel:

E = M⋅g

7. ábra: Részben elmerült tárgy szabad test diagramja. Forrás: F. Zapata készítette.

A súly a Dc test sűrűsége, szorozva a V térfogatával és a gravitációs gyorsulással.

A tolóerő az Archimedes elve szerint kiszorított folyadék tömege, és úgy kiszámolják, hogy a víz D sűrűségét megszorozzuk a V 'merülő térfogattal és a gravitációs gyorsulással.

Vagyis:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Ami azt jelenti, hogy az elmerült térfogat-hányad egyenlő a test sűrűsége és a víz sűrűsége közötti hányaddal.

Vagyis a kiemelkedő térfogatarány (V '' / V)

Ha h a túlnyúlás magassága és L a kocka oldala, akkor a térfogat frakciót így írhatjuk

Tehát a megrendelt anyagok eredményei:

Polisztirol (fehér parafa):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% a vízből

Faipari:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% a vízből

Jég:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% a vízből

Irodalom

1. Bauer, W. 2011. Fizika a mérnöki és tudományos munkához. 1. kötet. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Alapok és alkalmazások. Első kiadás. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 4. kötet. Folyadékok és termodinamika. Szerkesztette Douglas Figueroa (USB). 1–42.
4. Giles, R. 2010. Folyadékok mechanikája és hidraulika. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. A fizika alapjai. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fizika: Fogalmak és alkalmazások. 7. kiadás. McGraw Hill.