FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ: TULAJDONSÁGOK, ALKALMAZÁSOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

A Fourier-transzformáció egy integrálható függvényekre épülő, az integrált transzformációk családjába tartozó analitikai megfelelőségi módszer. Ez az f (t) függvények újradefiniálását jelenti Cos (t) és Sen (t) szempontjából.

Ezeknek a funkcióknak a trigonometrikus azonosságai, a deriválási és antiderivatív jellemzőikkel együtt, a következő komplex függvényen keresztül határozzák meg a Fourier-transzformációt:

Ami igaz, amíg a kifejezésnek értelme van, vagyis amikor a helytelen integrál konvergál. Algebrai szempontból a Fourier-transzformációról azt mondják, hogy egy lineáris homeomorfizmus.

Minden olyan funkciónak, amely a Fourier-transzformációval működik, a megadott paraméteren kívül nullának kell lennie.

Tulajdonságok

Forrás: pexels

A Fourier-transzformáció a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Létezés

A Fourier-transzformáció létezésének igazolásához az R (s) tényezőben meghatározott f (t) függvényben a következő 2 axiómának kell teljesülnie:

1. f (t) darabonként folytonos az összes R esetében
2. f (t) integrálható R-ben

Fourier transzformációs linearitás

Legyen M (t) és N (t) bármilyen két függvény határozott Fourier-transzformációkkal, az a és b állandóval.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Ezt támasztja alá az azonos név integráljának linearitása is.

A származék Fourier-transzformációja

Van egy f függvény, amely folyamatos és integrálható minden reálban, ahol:

Az f (f ') származéka folytonos és darabonként meghatározott egész R-ben

A származékok Fourier-transzformációját részekkel történő integráció határozza meg a következő kifejezéssel:

F (z) = iz F (z)

A magasabb rendű származtatásokban homológ módon alkalmazzák, ahol az összes n 1-re van:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourier transzformációs differenciálás

Van egy f függvény, amely folyamatos és integrálható minden reálban, ahol:

A fordítás Fourier-transzformációja

Minden θ -hez, amely egy S halmazhoz tartozik, és T, amely az S halmazhoz tartozik, rendelkezünk:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

A τ _a munka, mint a fordítási szolgáltató a vektor.

A Fourier-transzformáció fordítása

Minden θ -hez, amely egy S halmazhoz tartozik, és T, amely az S halmazhoz tartozik, rendelkezünk:

τ _a F = F τ _a F = F

Minden az tartozó R

Egy skálacsoport Fourier-transzformációja

Az összes θ esetében, amely az S. halmazhoz tartozik. T az az S halmazhoz tartozik

λ az R - {0} csoporthoz tartozik:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Ha f folyamatos és egyértelműen integrálható függvény, ahol a> 0, akkor:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Ennek az eredménynek a bemutatására folytathatjuk a változó megváltoztatását.

Ha T → +, akkor s = → + ∞ -nél

Ha T → - akkor s = at → - ∞

Szimmetria

A Fourier-transzformáció szimmetria tanulmányozásához ellenőrizni kell Parseval azonosságát és a Plancherel-képletet.

Van θ és δ, amelyek S.-hez tartoznak . Innentől lehet következtetni, hogy:

Szerzés

1 / (2π) ^d { F, F } Eredeti valóság

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel képletű

Egy konvolúciós termék Fourier-transzformációja

Hasonló célokat követve, mint a Laplace-transzformációnál, a függvények konvolúciója a Fourier-transzformációk közötti termékre vonatkozik.

Van f és g, mint 2 korlátozott, meghatározott és teljesen integrálható függvény:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Folytatás és végtelenségbe esés

Mi a Fourier-transzformáció?

Elsősorban az egyenletek lényeges egyszerűsítésére szolgál, miközben a származtatott kifejezéseket erő elemekké alakítja, különbségi kifejezéseket jelölve integrálható polinomok formájában.

Az eredmények optimalizálásában, modulálásában és modellezésében szabványos kifejezésként működik, és több generáció után gyakori forrásként szolgál a mérnöki munkához.

A Fourier sorozat

A koszinuszok és a szinuszok szerint meghatározott sorozatok; Ezek elősegítik az általános időszakos funkciókkal végzett munkát. Alkalmazásuk részét képezi a közönséges és részleges differenciálegyenletek megoldásának technikáinak.

A Fourier sorozatok még általánosabbak, mint a Taylor sorozatok, mivel olyan periodikus folytonos függvényeket fejlesztenek ki, amelyek nem rendelkeznek Taylor sorozat reprezentációval.

A Fourier sorozat egyéb formái

A Fourier-transzformáció analitikus megértéséhez fontos, hogy áttekintsük azokat a többi formát, amelyekben a Fourier-sorozat megtalálható, mindaddig, amíg a Fourier-sorozatot nem lehet meghatározni komplex jelölésében.

-Fourier sorozat a 2L periódus függvényében

Sokszor szükség van egy Fourier sorozat szerkezetének adaptálására olyan periodikus függvényekre, amelyek periódusa p = 2L> 0.

-Fourier sorozat páratlan és páros funkciókban

Az intervallumot figyelembe vesszük, amely előnyei vannak a funkciók szimmetrikus jellemzőinek kihasználásakor.

Ha f egyenletes, akkor a Fourier sorozat koszinuszok sorozata lesz.

Ha f páratlan, akkor a Fourier-sorozat szinusz-sorozatként jön létre.

-A Fourier sorozat komplex jelölése

Ha van egy olyan f (t) függvény, amely teljesíti a Fourier-sorozat összes fejleszthetőségi követelményét, akkor azt komplex jelölésével intervallumban lehet jelölni:

Alkalmazások

Forrás: pexels

Az alapvető megoldás kiszámítása

A Fourier-transzformáció hatékony eszköz a folyamatos együtthatókkal rendelkező lineáris típusú parciális differenciálegyenletek tanulmányozására. Ugyanúgy vonatkoznak a korlátlan domain funkciókra is.

A Laplasz-transzformációhoz hasonlóan a Fourier-transzformáció egy részleges derivált függvényt sokkal egyszerűbbé vált egy közönséges differenciálegyenletre.

A hőegyenlet Cauchy-problémája a Fourier-transzformáció gyakori alkalmazási területét mutatja be, ahol a hőmag vagy a Dirichlet-atommag-funkciója keletkezik.

Az alapvető megoldás kiszámítását illetően a következő esetek kerülnek bemutatásra, ahol a Fourier-transzformáció általános:

Jelelmélet

A Fourier-transzformáció alkalmazásának általános oka ebben az ágban nagyrészt annak következménye, hogy egy jel jellemzően bomlik, mint a könnyebben kezelhető jelek végtelen szuperpozíciója.

Lehet hang- vagy elektromágneses hullám, a Fourier-transzformáció kifejezi azt az egyszerű hullámok szuperpozíciójában. Ez az ábrázolás nagyon gyakori az elektrotechnikában.

Másrészt példák a Fourier-transzformáció alkalmazására a jelelmélet területén:

Példák

1. példa

Definiálja a Fourier-transzformációt a következő kifejezéshez:

A következő módon is képviselhetjük:

F (t) = Sen (t)

A téglalap alakú impulzus meghatározása:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

A Fourier-transzformációt a következő kifejezésre alkalmazzuk, amely hasonló a modulációs tételhez.

f (t) = p (t) Sen (t)

Ahol: F = (1/2) i

És a Fourier-transzformációt meghatározza:

F = (1/2) i

2. példa

Adja meg a kifejezés Fourier-transzformációját:

Mivel az f (h) páros függvény, ezt kijelenthetjük

A részek közötti integrációt úgy végezzük, hogy a változókat és azok különbségeit az alábbiak szerint választjuk meg

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h) ² v = (e ^-h) ² /2

Pótló van

A kalkulus alaptételének kiértékelése után

Az elsőrendű differenciálegyenletekre vonatkozó előzetes ismeretek alkalmazásával a kifejezést úgy kell megjelölni, mint:

K megszerzéséhez kiértékeljük

Végül a kifejezés Fourier-transzformációját úgy definiáljuk, mint:

Javasolt gyakorlatok

• 

• 

• Szerezze be a W / (1 + w ²) kifejezés transzformációját

Irodalom

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-elemzés. Addison - Wesley Iberoamericana, Madridi Autonóm Egyetem, 1995.
2. Oroszlánok, JL, Matematikai elemzés és numerikus módszerek a tudomány és a technológia számára. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, Gauss-magok csak gauss-maximumokat tartalmaznak. Invent. Math. 102, 179-208 (1990).
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier sorozat és integrálók. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Párizs, 1966.