MIK A TRIGONOMETRIKUS HATÁROK? (GYAKORLATOK MEGOLDVA) - MATEMATIKA - 2026

A trigonometrikus határok olyan funkciók olyan határértékei, hogy ezeket a funkciókat trigonometrikus függvények képezik.

Két meghatározást kell tudni, hogy megértsük, hogyan kell kiszámítani a trigonometrikus határértéket.

Ezek a meghatározások:

- Az «f» függvény határa, ha az «x» «b« -re hajlamos: azt az értéket számítja ki, amelyre az f (x) megközelíti az «x» megközelítést «b« -re, anélkül, hogy «b» -et érne el. ».

- Trigonometriai függvények: a trigonometrikus függvények a szinusz, koszinusz és az érintő függvények, amelyeket sin (x), cos (x) és tan (x) jelölnek.

A többi trigonometrikus függvény a fent említett három függvényből származik.

Funkcionális határok

A funkciókorlát fogalmának tisztázása érdekében néhány példát mutatunk be az egyszerű funkciókkal együtt.

- Az f (x) = 3 határértéke, amikor az "x" "8" -ra hajlamos, egyenlő "3" -val, mivel a funkció állandó. Nem számít, mennyit ér "x", az f (x) értéke mindig "3" lesz.

- Az f (x) = x-2 határértéke, amikor az «x» «6-ra« hajlamos, «4». Mióta az "x" megközelíti a "6" -ot, akkor az "x-2" a "6-2 = 4" -hez közeledik.

- g (x) = x² határérték, ha az "x" -re "3" -ra esik, egyenlő 9-gyel, mivel amikor "x" "3" -ra közeledik, akkor "x²" "3² = 9" -re közelít.

Amint az az előző példákból kitűnik, a határérték kiszámítása azt az értéket jelenti, amelyre az "x" hajlamos a függvényre, és az eredmény lesz a határérték, bár ez igaz csak a folyamatos funkciókra.

Vannak bonyolultabb határok?

A válasz igen. A fenti példák a korlátozások legegyszerűbb példái. A kalkuluskönyvekben a fő korlátok olyan gyakorlatok, amelyek 0/0, generate / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 és (∞) típusú határozatlanságot generálnak. ^ 0.

Ezeket a kifejezéseket határozatlanságoknak nevezzük, mivel azok olyan kifejezések, amelyeknek matematikai szempontból nincs értelme.

Ezen túlmenően, az eredeti határértékhez kapcsolódó funkcióktól függően, a határozatlanságok megoldása során elért eredmény minden esetben eltérő lehet.

Példák az egyszerű trigonometrikus határokra

A határok megoldásához mindig nagyon hasznos megismerni az érintett függvények grafikonjait. Az alábbiakban bemutatjuk a szinusz, koszinusz és az érintő függvényének grafikonjait.

Néhány példa az egyszerű trigonometrikus határokra:

- Számítsa ki a sin (x) határát, ha az «x» «0« -ra hajlik.

A gráfot tekintve látható, hogy ha az "x" közelebb áll a "0" -hoz (balról és jobbról egyaránt), akkor a szinusz gráf közelebb kerül a "0-hoz". Ezért a sin (x) határa, ha "x" "0" -ra hajlamos, "0".

- Számítsa ki a cos (x) határát, ha az «x» «0« -ra hajlik.

Megfigyelve a koszinusz gráfját, láthatjuk, hogy ha az "x" közel "0" -hoz, akkor a koszinus gráfja "1" -hez közeli. Ez azt jelenti, hogy a cos (x) határa, amikor az "x" "0" -ra esik, egyenlő "1" -vel.

A korábbi példákhoz hasonlóan létezhet korlátozás (lehet szám), de előfordulhat, hogy nem létezik, mint a következő példában bemutatjuk.

- A tan (x) határértéke, amikor az «x» balról «2/2» -re hajlamos, egyenlő «+ ∞» -el, amint az a grafikonon látható. Másrészről, a tan (x) határ, amikor az "x" jobbról "-Π / 2" -re változik, "-" "-val egyenlő.

Trigonometrikus határtartalmak

Két nagyon hasznos identitás a trigonometrikus határok kiszámításakor:

- A «sin (x) / x» határérték, ha az «x» «0« -ra hajlamos, egyenlő «1« -vel.

- Az «(1-cos (x)) / x» határérték, ha az «x» «0« -ra hajlamos, egyenlő «0« -kal.

Ezeket az identitásokat nagyon gyakran használják, ha valamilyen meghatározatlanság van.

Megoldott gyakorlatok

A fentiekben ismertetett identitások segítségével oldja meg a következő korlátokat.

- Számítsa ki az «f (x) = sin (3x) / x» határértéket, ha az «x» «0« -ra hajlik.

Ha az "f" függvényt "0" -on értékelik, akkor a 0/0 típusú határozatlanságot kapunk. Ezért meg kell próbálnunk megoldani ezt a határozatlanságot a leírt identitások segítségével.

Az egyetlen különbség a határ és az identitás között a 3. szám, amely a szinusz funkcióban jelenik meg. Az identitás alkalmazásához az «f (x)» függvényt a következő módon kell átírni: «3 * (sin (3x) / 3x)». Most mind a szinusz, mind a nevező azonos.

Tehát, ha az "x" értéke "0", akkor az identitás felhasználásával "3 * 1 = 3" lesz. Ezért az f (x) határa, amikor az "x" "0" -ra esik, egyenlő "3" -kal.

- Számítsa ki a «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» határértéket, ha a «x» értéke «0».

Ha g (x) -ben helyettesítjük az "x = 0" értéket, akkor ∞-∞ típusú határozatlanságot kapunk. Ennek megoldásához először le kell vonni a frakciókat, amelyek "(1-cos (x)) / x" -ot eredményeznek.

Most, a második trigonometrikus identitás alkalmazásával, g (x) határa, amikor «x» «0« -ra hajlamos, egyenlő 0-val.

- Számítsa ki a «h (x) = 4tan (5x) / 5x» határértéket, ha a «x» «0« értékre mutat.

Ismét, ha a h (x) értéket "0" -on értékelik, akkor a 0/0 típusú meghatározatlanságot kapjuk.

Ha újraírja (5x) mint sin (5x) / cos (5x), akkor h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Ezzel a 4 / cos (x) határértékkel, amikor az "x" "0" -ra esik, egyenlő "4/1 = 4" -nel, és az első trigonometrikus azonosságot kapjuk, amelyben a "h" x "határ", amikor "x" hajlamos a "0" egyenlő: "1 * 4 = 4".

Megfigyelés

A trigonometrikus határokat nem mindig könnyű megoldani. Ebben a cikkben csak az alapvető példákat mutatták be.

Irodalom

1. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: problémamegoldó megközelítés (2, illusztrált kiadás). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. és Varberg, D. (1991). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8. kiadás). Cengage tanulás.
5. Leal, JM és Viloria, NG (2005). Sík analitikus geometria. Mérida - Venezuela: Szerkesztői Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson oktatás.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Calculus (kilencedik kiadás). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciális számítás a korai transzcendens funkciókkal a tudomány és a technika számára (Second Edition, szerk.). Átfogó.
9. Scott, Kalifornia (2009). Kartézi sík geometria, rész: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Villámforrás.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson oktatás.