KÉPZELETBELI SZÁMOK: TULAJDONSÁGOK, ALKALMAZÁSOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A képzeletbeli számok megoldják azt az egyenletet, amelyben a négyzetre emelkedő ismeretlen egyenlő negatív valós számmal. A képzeletbeli egység i = √ (-1).

Az egyenletben: z ² = - a, z egy képzeletbeli szám, amelyet a következők szerint fejeznek ki:

z = √ (-a) = i√ (a)

Legyen pozitív valós szám. Ha a = 1, akkor z = i, ahol i a képzeletbeli egység.

1. ábra: Komplex sík, amely néhány valós számot, néhány képzeletbeli számot és néhány komplex számot mutat. Forrás: F. Zapata.

Általában a tiszta képzeletbeli z számot mindig a következő formában fejezik ki:

z = y⋅i

Ahol y egy valós szám, és i a képzeletbeli egység.

Ahogyan a valós számokat ábrázolják egy valós vonalnak nevezett vonalon, hasonlóképpen a képzeletbeli számokat ábrázolják a képzeletbeli vonal.

A képzeletbeli vonal mindig merőleges (90º alakú) a valós vonalhoz képest, és a két vonal egy komplex síknak nevezett derékszögű síkot határoz meg.

Az 1. ábrán a komplex sík látható, rajta néhány valós szám, néhány képzeletbeli szám és néhány komplex szám is:

X ₁, X ₂, X ₃ valós számok

Y ₁, Y ₂, Y ₃ képzeletbeli számok

Z ₂ és Z ₃ összetett számok

Az O szám a valós nulla, és egyben a képzeletbeli nulla is, tehát az O származás a komplex nulla, kifejezve:

0 + 0i

Tulajdonságok

A képzeletbeli szám halmazt jelöli:

I = {……, -3i,…, -2i,…., –I,…., 0i,…., Én,…., 2i,…., 3i, ……}

És meghatározhat néhány műveletet ezen a numerikus halmazon. Ezekből a műveletekből nem mindig szerepel egy képzeletbeli szám, ezért nézzük meg őket kissé részletesebben:

Összeadja és levonja a képzeletbeli

A képzeletbeli számok összeadhatók és kivonhatók egymástól, új képzeletbeli számot eredményezve. Például:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

A képzelet terméke

Ha egy képzeletbeli szám szorzata egy másikkal történik, az eredmény egy valós szám. Végezzük el a következő műveletet annak ellenőrzéséhez:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

És amint látjuk, -6 egy valós szám, bár két tiszta képzeletbeli szám szorzásával nyerik.

Egy másik képzeletbeli valós szám szorzata

Ha a valós számot megszorozzuk i-vel, akkor az eredmény egy képzeletbeli szám, amely egy 90 fokos óramutató járásával ellentétes irányú forgásnak felel meg.

És ez az, hogy i ² két egymást követő 90 fokos fordulatnak felel meg, ami egyenértékű -1-vel való szorzásnak, vagyis i ² = -1. A következő ábrán látható:

2. ábra: Az i képzeletbeli egységgel történő szorzás 90 ° -kal az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Forrás: wikimedia commons.

Például:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

A képzelet felhatalmazása

Meg lehet határozni egy képzeletbeli szám potencírozását egy egész exponenssel:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Általában van, hogy i ⁿ = i ^ (n mod 4), ahol a mod az n és 4 közötti osztás fennmaradó része.

A negatív egész szám fokozása szintén elvégezhető:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Általában az n hatalomra emelt képzeletbeli b⋅i szám:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Néhány példa a következő:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Valós szám és egy képzeletbeli szám összege

Ha valós számot adunk hozzá egy képzeletbeli számmal, az eredmény nem valós vagy képzeletbeli, hanem egy új típusú szám, amelyet komplex számnak hívnak.

Például, ha X = 3,5 és Y = 3,75i, akkor az eredmény a komplex szám:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Vegye figyelembe, hogy az valós és a képzeletbeli részeket összességében nem lehet csoportosítani, tehát egy komplex számnak mindig van valós része és egy képzeletbeli része.

Ez a művelet kiterjeszti a valós számok halmazát a komplex számok legnagyobbjára.

Alkalmazások

A képzeletbeli számok nevét René Descartes (1596-1650) francia matematikus javasolta, mint csúfolást vagy egyet nem értést a századi olasz matematikus Raffaelle Bombelli javaslatával.

Más nagyszerű matematikusok, például Euler és Leibniz támogatták Descartes-t ebben a nézeteltérésben, és a képzeletbeli számokat kétoldalas számoknak hívták, amelyeket a létezés és a semmi között szakítottak meg.

A képzeletbeli számok ma is megmaradnak, de létezésük és fontosságuk nagyon valóságos és érzékelhető, mivel természetesen megjelennek a fizika számos területén, például:

-A relativitáselmélet.

- Elektromágnesességben.

-Kvantummechanika.

Gyakorlatok képzeletbeli számokkal

- 1. Feladat

Keresse meg a következő egyenlet megoldásait:

z ² + 16 = 0

Megoldás

Z ² = -16

Négyzetgyököt vetve mindkét tagban:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Más szavakkal, az eredeti egyenlet megoldásai a következők:

z = + 4i oz = -4i.

- 2. gyakorlat

Mutassa meg azt az eredményt, ha a képzeletbeli egységet 5-ös teljesítményre emeli, mínusz a -5-re felhozott képzeletbeli egység kivonása.

Megoldás

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- 3. gyakorlat

Keresse meg a következő művelet eredményét:

(3i) ³ + 9i

Megoldás

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- 4. gyakorlat

Keresse meg a következő kvadratikus egyenlet megoldásait:

(-2x) ² + 2 = 0

Megoldás

Az egyenlet az alábbiak szerint kerül átrendezésre:

(-2x) ² = -2

Ezután mindkét tag négyzetgyökét vesszük

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Ezután x-re oldjuk meg, hogy végre megkapjuk:

x = ± √2 / 2 i

Vagyis két lehetséges megoldás létezik:

x = (√2 / 2) i

Vagy ezt:

x = - (√2 / 2) i

- 5. gyakorlat

Keresse meg Z értékét:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Megoldás

Tudjuk, hogy a negatív valós szám négyzetgyöke egy képzeletbeli szám, például √ (-9) egyenlő: √ (9) x √ (-1) = 3i.

Másrészt, √ (-4) egyenlő: √ (4) x √ (-1) = 2i-vel.

Tehát az eredeti egyenlet helyettesíthető:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- 6. gyakorlat

Keresse meg Z értékét a két komplex szám következő osztása alapján:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Megoldás

A kifejezés számlálóját a következő tulajdonsággal lehet figyelembe venni:

Így:

Z = / (3 + i)

A kapott kifejezést az alábbiakban egyszerűsítjük, így hagyva

Z = (3 - i)

Irodalom

1. Earl, R. Komplex számok. Helyreállítva: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Változatos. CO-BO kiadások.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematikai témák kiválasztása. Monfort Publikációk.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Képzeletbeli szám. Helyreállítva: en.wikipedia.org