A mozgásban lévő folyadék viselkedését leíró Bernoulli-tételt a matematikai és fizikai Daniel Bernoulli a hidrodinamika című munkájában jelentette meg. Az elv szerint egy ideális folyadék (súrlódás vagy viszkozitás nélkül), amely egy zárt vezetéken kering, állandó energiájú lesz az útjában.
A tétel az energiamegtakarítás elvéből és még Newton második mozgási törvényéből is levezethető. Ezenkívül Bernoulli elve azt is kijelenti, hogy egy folyadék sebességének növekedése azt jelenti, hogy csökken a nyomás, amelyre ki vannak téve, a potenciális energia csökkenése, vagy mindkettő egyszerre.
Daniel Bernoulli
A tételnek számos különféle alkalmazása van, mind a tudomány világában, mind az emberek mindennapi életében.
Ennek következményei a repülőgépek emelőerőében, a házak és az ipar kéményében, a vízvezetékekben, többek között.
Bernoulli egyenlete
Noha Bernoulli volt az, aki arra a következtetésre jutott, hogy a nyomás csökken, amikor az áramlási sebesség növekszik, az az igazság, hogy Leonhard Euler valósította meg a Bernoulli-egyenletet a mai formában.
Mindenesetre Bernoulli egyenlete, amely nem más, mint tétele matematikai kifejezése, a következő:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = állandó
Ebben a kifejezésben v a folyadék sebessége a figyelembe vett szakaszon, ƿ a folyadék sűrűsége, P a folyadék nyomása, g a gravitációs gyorsulás értéke, és z az irányba mért magasság a gravitáció.
Bernoulli egyenletében egyértelmű, hogy a folyadék energiája három összetevőből áll:
- Kinetikus komponens, amely az a folyadék mozgásának sebessége.
- Potenciális vagy gravitációs elem, amely a folyadék magasságának köszönhető.
- Nyomás energia, amely az a folyadék, amely annak a nyomásnak a következménye, amelyre ki van téve.
Másrészt Bernoulli egyenletét így is lehet kifejezni:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Ez az utolsó kifejezés nagyon praktikus a változások elemzéséhez, amelyeket a folyadék tapasztal, amikor az egyenlet alkotó bármely elem megváltozik.
Egyszerűsített forma
Bizonyos esetekben a Bernoulli-egyenlet ρgz-kifejezésében bekövetkező változás minimális, mint a többi kifejezésnél, tehát elhanyagolható. Például, ez történik olyan áramokban, amelyeket egy repülőgép tapasztal repülés közben.
Ilyenkor a Bernoulli-egyenletet a következőképpen fejezzük ki:
P + q = P 0
Ebben a kifejezésben q a dinamikus nyomás, és egyenértékű a v 2 ∙ ƿ / 2-vel, és P 0 az úgynevezett teljes nyomás, és a P statikus nyomás és a q dinamikus nyomás összege.
Alkalmazások
Bernoulli tételének számos és változatos alkalmazása van olyan területeken, mint a tudomány, a mérnöki munka, a sport stb.
Érdekes alkalmazás található a kandallók tervezésében. A kémények magasan vannak felépítve annak érdekében, hogy nagyobb nyomáskülönbséget érjenek el az alap és a kémény kiömlőnyílása között, amelynek köszönhetően az égési gázok könnyebben kivonhatók.
A Bernoulli-egyenlet természetesen vonatkozik a csövekben a folyadékáramok mozgásának tanulmányozására is. Az egyenletből következik, hogy a cső keresztmetszetének csökkentése a rajta áthaladó folyadék sebességének növelése érdekében a nyomás csökkenését is jelenti.
A Bernoulli-egyenletet használják a repülésben és a Formula 1 járművekben is. A repülés esetében a Bernoulli-effektus a repülőgépek emelkedésének oka.
A repülőgép szárnyait úgy tervezték, hogy nagyobb szárnyú légáramot érjenek el a szárny tetején.
Így a szárny felső részén a levegő sebessége nagy, ezért a nyomás alacsonyabb. Ez a nyomáskülönbség függőlegesen felfelé irányuló erőt (emelési erőt) eredményez, amely lehetővé teszi a repülőgép számára, hogy a levegőben maradjon. Hasonló hatás érhető el a Forma-1 autók utánfutóin.
A feladat megoldódott
A vízfolyás 5,18 m / s sebességgel áramlik egy 4,2 cm 2 keresztmetszetű csövön. A víz süllyed egy magassága 9,66 m egy alacsonyabb szintre, magassága nulla magasság, míg a keresztmetszeti területe a cső emelkedik 7,6 cm 2.
a) Számítsa ki a vízáram sebességét az alsó szinten.
b) Határozza meg az alsó nyomást, tudva, hogy a felső szint nyomása 152000 Pa.
Megoldás
a) Tekintettel arra, hogy az áramlást meg kell őrizni, igaz, hogy:
Q felső szint = Q alsó szint
v. 1 S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
Megoldva azt kapjuk, hogy:
v 2 = 2,86 m / s
b) Ha Bernoulli tételet alkalmazzuk a két szint között, és figyelembe véve, hogy a víz sűrűsége 1000 kg / m 3, akkor a következőt kapjuk:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
A P 2 megoldására a következőket kapjuk:
P 2 = 257926,4 Pa
Irodalom
- Bernoulli elve. (ND). A Wikipedia. Visszakeresve: 2018. május 12-én, az es.wikipedia.org webhelyről.
- Bernoulli alapelve. (ND). A Wikipediaban. Visszakeresve: 2018. május 12-én, az en.wikipedia.org webhelyről.
- Batchelor, GK (1967). Bevezetés a folyadékdinamikába. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hidrodinamika (6. kiadás). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Alkalmazott folyadék mechanika (4. kiadás). Mexikó: Pearson Education.