- Alkalmazások
- Steiner tételének igazolása
- Megoldott gyakorlatok
- - Megoldott 1. feladat
- Megoldás
- - 2. feladat
- Megoldás
- Irodalom
A Steiner tétel, amelyet párhuzamos tengely tételnek is neveznek, egy kiterjesztett test tehetetlenségi nyomatékának felmérésére, egy olyan tengely körül, amely párhuzamos egy másikkal, amely áthalad a tárgy tömegközéppontjában.
Ezt fedezte fel svájci Jakob Steiner (1796 –1863) matematikus, és kijelenti, hogy: I CM legyen a tárgy tehetetlenségi pillanata a CM tömegközéppontjában áthaladó tengelyhez képest, és I z legyen a tehetetlenségi momentum egy másik tengelyhez képest. ezzel párhuzamosan.

1. ábra: A zsanérokon forgó téglalap alakú ajtó tehetetlenségi nyomatékkal rendelkezik, amely Steiner-tétel alkalmazásával kiszámítható. Forrás: Pixabay.
A két tengelyt elválasztó D távolság és a kérdéses test M tömegének ismeretében a tehetetlenségi momentum az ismeretlen tengelyhez viszonyítva:
A tehetetlenség pillanata azt jelzi, mennyire könnyű egy tárgynak egy bizonyos tengely körül forogni. Nem csak a test tömegétől függ, hanem attól is, hogy hogyan oszlik meg. Ezért forgási tehetetlenségnek is nevezik, mivel a Kg Nemzetközi Rendszer egységei. m 2.
A tétel azt mutatja, hogy az I z tehetetlenségi pillanat mindig nagyobb, mint az I CM tehetetlenség pillanata az MD 2 által megadott mennyiséggel.
Alkalmazások
Mivel egy objektum képes számos tengely körül forogni, és a táblázatokban általában csak a tehetetlenségi nyomatékot adják meg a centridán áthaladó tengelyhez, Steiner-tétel megkönnyíti a számítást, amikor a tengelyeken testeket kell forgatni. amelyek nem egyeznek ezzel.
Például egy ajtó általában nem egy tengely körül forog a tömegközéppontján, hanem egy oldalsó tengely körül, ahol a zsanérok tapadnak.
A tehetetlenség pillanatának ismeretével kiszámítható a kinetikus energia, amely az említett tengely körüli forgáshoz kapcsolódik. Ha K a kinetikus energia, I tehetetlenségi pillanat a kérdéses tengely körül és ω a szögsebesség, akkor az alábbiak szerint jár:
Ez az egyenlet nagyon hasonlít a v ismert sebességgel mozgó M tömegű objektumok kinetikus energiájának nagyon jól ismert formulájához: K = ½ Mv 2. És az a, hogy a tehetetlenség vagy a forgási tehetetlenség pillanatában ugyanaz a szerepe van a forgásban, mint az M tömeg a fordításban.
Steiner tételének igazolása
Egy kiterjesztett objektum tehetetlenségi pillanatát a következőképpen kell meghatározni:
I = ∫ r 2 dm
Ahol dm a tömeg végtelen része, és r a dm és a z forgástengely közötti távolság. A 2. ábrán ez a tengely keresztezi a CM tömeg központját, bármi lehet.

2. ábra. Egy tárgy, amely két párhuzamos tengely körül forog. Forrás: F. Zapata.
Egy másik z 'tengely körül a tehetetlenségi nyomaték:
I z = ∫ (r ') 2 dm
A D, r és r ' vektorok által alkotott háromszög szerint (lásd a jobb oldali 2. ábrát) van egy vektorösszeg:
r + r ' = D → r' = D - r
A három vektor az objektum síkján fekszik, amely lehet xy. A koordinátarendszer eredetét (0,0) CM-ben választják meg, hogy megkönnyítsék a következő számításokat.
Ilyen módon az r ' vektor négyzetes modulja:
Most ezt a fejleményt az I z tehetetlenségi nyomaték integrálódásával helyettesítjük, és a dm = ρ.dV sűrűség meghatározását is használjuk:

A Steiner tételben megjelenő M. D 2 kifejezés az első integrálból származik, a második a tehetetlenségi pillanat a CM-n áthaladó tengelyhez viszonyítva.
A harmadik és a negyedik integrálok viszont 0-t érnek, mivel definíciójuk szerint azok képezik a CM helyzetét, amelyet a koordináta-rendszer eredetévé választottak (0,0).
Megoldott gyakorlatok
- Megoldott 1. feladat
Az 1. ábrán látható téglalap alakú ajtó tömege 23 kg, 1,30 széles és 2,10 m magas. Határozza meg az ajtó tehetetlenségi nyomatékát a zsanérokon áthaladó tengelyhez képest, feltételezve, hogy az ajtó vékony és egyenletes.

3. ábra. Az 1. példa vázlata. Forrás: módosítva a Pixabay-től.
Megoldás
A tehetetlenség pillanatainak táblázata alapján az M tömegű téglalap alakú lemeznél, az a és b méretnél, a tehetetlenségi nyomaték a tömegközépen áthaladó tengelyhez képest: I CM = (1/12) M (a 2 + b 2).
Homogén kaput kell feltételezni (közelítés, mivel az ábrán látható kapu valószínűleg nem így van). Ebben az esetben a tömegközéppont áthalad geometriai középpontján. A 3. ábrán egy olyan tengely van rajzolva, amely áthalad a tömegközépponton, és párhuzamos a tengelyével is, amely áthalad a zsanérokon.
I CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 2 +2,10 2) m 2 = 11,7 kg / m 2
Steiner-tétel alkalmazása a zöld forgástengelyre:
I = I CM + MD 2 = 11,7 kg.m 2 + 23 kg x 0,652 m 2 = 21,4 kg.
- 2. feladat
Keresse meg a homogén vékony rúd tehetetlenségi nyomatékát, amikor az egy végén áthaladó tengely körül forog, lásd az ábrát. Nagyobb vagy kevesebb, mint a tehetetlenség pillanata, amikor a központ körül forog? Miért?

4. ábra: A feloldott példa sémája. Forrás: F. Zapata.
Megoldás
A tehetetlenség pillanatainak táblázata szerint az M tömegű és L hosszúságú vékony rudak I CM tehetetlenségi momentuma: I CM = (1/12) ML 2
És Steiner tétele kijelenti, hogy amikor az egyik végét áthaladó tengely körül D = L / 2 forgatja, akkor az marad:
Ez nagyobb, bár nem egyszerűen kétszer, hanem négyszer több, mivel a rúd másik fele (az ábrán nem árnyékolt) nagyobb sugárral jellemezve forog.
A forgástengely távolsága nem lineáris, hanem kvadratikus. Ha a tömeg kétszerese a távolságnak, mint a másiknak, akkor a tehetetlenségi nyomatéka arányos (2D) 2 = 4D 2-vel.
Irodalom
- Bauer, W. 2011. Fizika a mérnöki és tudományos munkához. 1. kötet. Mc Graw Hill. 313-340.
- Georgia állambeli egyetem. Rotációs mozgás. Helyreállítva: fiz.nthu.edu.tw.
- Párhuzamos tengely tétel. Helyreállítva: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
- Rex, A. 2011. A fizika alapjai. Pearson. 190-200.
- Wikipedia. Párhuzamos tengely tétel. Helyreállítva: en.wikipedia.org
