STEINER-TÉTEL: MAGYARÁZAT, ALKALMAZÁSOK, GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2025

A Steiner tétel, amelyet párhuzamos tengely tételnek is neveznek, egy kiterjesztett test tehetetlenségi nyomatékának felmérésére, egy olyan tengely körül, amely párhuzamos egy másikkal, amely áthalad a tárgy tömegközéppontjában.

Ezt fedezte fel svájci Jakob Steiner (1796 –1863) matematikus, és kijelenti, hogy: I _{CM legyen} a tárgy tehetetlenségi pillanata a CM tömegközéppontjában áthaladó tengelyhez képest, és I _{z legyen} a tehetetlenségi momentum egy másik tengelyhez képest. ezzel párhuzamosan.

1. ábra: A zsanérokon forgó téglalap alakú ajtó tehetetlenségi nyomatékkal rendelkezik, amely Steiner-tétel alkalmazásával kiszámítható. Forrás: Pixabay.

A két tengelyt elválasztó D távolság és a kérdéses test M tömegének ismeretében a tehetetlenségi momentum az ismeretlen tengelyhez viszonyítva:

A tehetetlenség pillanata azt jelzi, mennyire könnyű egy tárgynak egy bizonyos tengely körül forogni. Nem csak a test tömegétől függ, hanem attól is, hogy hogyan oszlik meg. Ezért forgási tehetetlenségnek is nevezik, mivel a Kg Nemzetközi Rendszer egységei. m ².

A tétel azt mutatja, hogy az I _z tehetetlenségi pillanat mindig nagyobb, mint az I _CM tehetetlenség pillanata az MD ² által megadott mennyiséggel.

Alkalmazások

Mivel egy objektum képes számos tengely körül forogni, és a táblázatokban általában csak a tehetetlenségi nyomatékot adják meg a centridán áthaladó tengelyhez, Steiner-tétel megkönnyíti a számítást, amikor a tengelyeken testeket kell forgatni. amelyek nem egyeznek ezzel.

Például egy ajtó általában nem egy tengely körül forog a tömegközéppontján, hanem egy oldalsó tengely körül, ahol a zsanérok tapadnak.

A tehetetlenség pillanatának ismeretével kiszámítható a kinetikus energia, amely az említett tengely körüli forgáshoz kapcsolódik. Ha K a kinetikus energia, I tehetetlenségi pillanat a kérdéses tengely körül és ω a szögsebesség, akkor az alábbiak szerint jár:

Ez az egyenlet nagyon hasonlít a v ismert sebességgel mozgó M tömegű objektumok kinetikus energiájának nagyon jól ismert formulájához: K = ½ Mv ². És az a, hogy a tehetetlenség vagy a forgási tehetetlenség pillanatában ugyanaz a szerepe van a forgásban, mint az M tömeg a fordításban.

Steiner tételének igazolása

Egy kiterjesztett objektum tehetetlenségi pillanatát a következőképpen kell meghatározni:

I = ∫ r ² dm

Ahol dm a tömeg végtelen része, és r a dm és a z forgástengely közötti távolság. A 2. ábrán ez a tengely keresztezi a CM tömeg központját, bármi lehet.

2. ábra. Egy tárgy, amely két párhuzamos tengely körül forog. Forrás: F. Zapata.

Egy másik z 'tengely körül a tehetetlenségi nyomaték:

I _z = ∫ (r ') ² dm

A D, r és r ' vektorok által alkotott háromszög szerint (lásd a jobb oldali 2. ábrát) van egy vektorösszeg:

r + r ' = D → r' = D - r

A három vektor az objektum síkján fekszik, amely lehet xy. A koordinátarendszer eredetét (0,0) CM-ben választják meg, hogy megkönnyítsék a következő számításokat.

Ilyen módon az r ' vektor négyzetes modulja:

Most ezt a fejleményt az I _z tehetetlenségi nyomaték integrálódásával helyettesítjük, és a dm = ρ.dV sűrűség meghatározását is használjuk:

A Steiner tételben megjelenő M. D ² kifejezés az első integrálból származik, a második a tehetetlenségi pillanat a CM-n áthaladó tengelyhez viszonyítva.

A harmadik és a negyedik integrálok viszont 0-t érnek, mivel definíciójuk szerint azok képezik a CM helyzetét, amelyet a koordináta-rendszer eredetévé választottak (0,0).

Megoldott gyakorlatok

- Megoldott 1. feladat

Az 1. ábrán látható téglalap alakú ajtó tömege 23 kg, 1,30 széles és 2,10 m magas. Határozza meg az ajtó tehetetlenségi nyomatékát a zsanérokon áthaladó tengelyhez képest, feltételezve, hogy az ajtó vékony és egyenletes.

3. ábra. Az 1. példa vázlata. Forrás: módosítva a Pixabay-től.

Megoldás

A tehetetlenség pillanatainak táblázata alapján az M tömegű téglalap alakú lemeznél, az a és b méretnél, a tehetetlenségi nyomaték a tömegközépen áthaladó tengelyhez képest: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Homogén kaput kell feltételezni (közelítés, mivel az ábrán látható kapu valószínűleg nem így van). Ebben az esetben a tömegközéppont áthalad geometriai középpontján. A 3. ábrán egy olyan tengely van rajzolva, amely áthalad a tömegközépponton, és párhuzamos a tengelyével is, amely áthalad a zsanérokon.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ²) m ² = 11,7 kg / m ²

Steiner-tétel alkalmazása a zöld forgástengelyre:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,652 m ² = 21,4 kg.

- 2. feladat

Keresse meg a homogén vékony rúd tehetetlenségi nyomatékát, amikor az egy végén áthaladó tengely körül forog, lásd az ábrát. Nagyobb vagy kevesebb, mint a tehetetlenség pillanata, amikor a központ körül forog? Miért?

4. ábra: A feloldott példa sémája. Forrás: F. Zapata.

Megoldás

A tehetetlenség pillanatainak táblázata szerint az M tömegű és L hosszúságú vékony rudak I _CM tehetetlenségi momentuma: I _CM = (1/12) ML ²

És Steiner tétele kijelenti, hogy amikor az egyik végét áthaladó tengely körül D = L / 2 forgatja, akkor az marad:

Ez nagyobb, bár nem egyszerűen kétszer, hanem négyszer több, mivel a rúd másik fele (az ábrán nem árnyékolt) nagyobb sugárral jellemezve forog.

A forgástengely távolsága nem lineáris, hanem kvadratikus. Ha a tömeg kétszerese a távolságnak, mint a másiknak, akkor a tehetetlenségi nyomatéka arányos (2D) ² = 4D ^2-vel.

Irodalom

1. Bauer, W. 2011. Fizika a mérnöki és tudományos munkához. 1. kötet. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia állambeli egyetem. Rotációs mozgás. Helyreállítva: fiz.nthu.edu.tw.
3. Párhuzamos tengely tétel. Helyreállítva: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. A fizika alapjai. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Párhuzamos tengely tétel. Helyreállítva: en.wikipedia.org